因数分解と比の求め方

質問

簡単な問題で恐縮です。
転職するため久々に一般教養の勉強をしようとしたところ、
数学の知識をまるでなくしていることに気づきました。。。
以下ニ問、とき方を教えてください。

１）　3　　　2
　　ｘ ＋３X－X－３　　　因数分解せよ

２）X+Y　　Y+Z　　X+Z
　　----＝----＝----　　
　　５　　　６　　　　７　　　　ｘ：ｙ：ｚの比を求めよ

答えはわかっているものの、とき方が分かりません。
導き方で結構ですので宜しくお願い致します。

回答No.5

noname#2416

ほかの方が明快にといていらっしゃるので蛇足になるとおは思いますが書きます。(1)についてだけ。

f(x)=x^3+3x^2-x-3

こういう場合は最後の３に注目します。
３の約数は±１と±３ですよね。
それでとりあえず　x=1　を代入すると

1^3+3*1^2-1-3=1+3-1-3=0

となり、値が０になるので x-1 でf(x)割り切れることがわかります。
同様に
x=-1を代入　(-1)^3+3*(-1)^2-(-1)-3=-1+3+1-3=0
x=3を代入 3^3+3*3^2-3-3=27+27-3-3≠0
x=-3を代入 (-3)^3+3*(-3)^2-(-3)-3=-27+27+3-3=0
から、他にも x-(-1) と　x-(-3) で割り切れることが分かります。

よって
f(x)=(x-1)(x+1)(x+3)
となります。

一般に有理数係数ｎ次方程式が“有理数”解を持つ場合は、０次の項をｐ／ｑと書くとき、

　　　　　　（ｐの約数）
（その解）＝――――――のどれか
　　　　　　（ｑの約数）

となります。
要は、
「方程式に定数項の約数をつっこんで、因数分解のあたりをつける」
ということです。

長々とすいません。