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因数分解と比の求め方

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お礼率 48% (126/261)

簡単な問題で恐縮です。
転職するため久々に一般教養の勉強をしようとしたところ、
数学の知識をまるでなくしていることに気づきました。。。
以下ニ問、とき方を教えてください。

1) 3   2
  x +3X-X-3   因数分解せよ

2)X+Y  Y+Z  X+Z
  ----=----=----  
  5   6    7    x:y:zの比を求めよ

答えはわかっているものの、とき方が分かりません。
導き方で結構ですので宜しくお願い致します。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 37% (1123/2963)

1)
累乗(指数)は、xの2乗なら、x^2 という風に書きます。

x^3+3x^2-x-3
=(x^3-x)+(3x^2-3)   ←並べ替え
=x(x^2-1)+3(x^2-1)    ←前はxでくくる、後ろは3でくくる
=(x+3)(x^2-1) ← x^2-1 が共通因数になる
=(x+3)(x+1)(x-1)      ← 和と差の公式

2)

(x+y)/5 = (y+z)/6 = (x+z)/7 = k とおきます。
すると、
x+y = 5k (1)
y+z = 6k (2)
x+z = 7k (3)
の3つの式に分けられます。(それぞれ分母を払った形)
これはOKですか?

あとは3つの式をたして 2x+2y+2z = 18k
両辺を2で割って x+y+z = 9k (4)
(4)-(2) より x = 3k
(4)-(3) より y = 2k
(4)-(1) より z = 4k
従って x:y:z = 3k:2k:4k = 3:2:4 となります。

分からなければ補足をどうぞ。
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その他の回答 (全4件)

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 50% (1133/2260)

1) 2つづつ項をまとめます。  X^3+3X^2-X-3 = X^2(X+3)-(X+3) (X+3) が共通ですから  = (X+3)(X^2-1) = (X+3)(X+1)(X-1) あるいは,係数の3に注目すれば,  X^3+3X^2-X-3 = X(X^2-1)+3(X^2-1)  = (X+3)(X^2-1) = (X+3)(X+1)(X-1) 2) (X+Y) ...続きを読む
1)
2つづつ項をまとめます。
 X^3+3X^2-X-3 = X^2(X+3)-(X+3)
(X+3) が共通ですから
 = (X+3)(X^2-1) = (X+3)(X+1)(X-1)

あるいは,係数の3に注目すれば,
 X^3+3X^2-X-3 = X(X^2-1)+3(X^2-1)
 = (X+3)(X^2-1) = (X+3)(X+1)(X-1)

2)
(X+Y)/5 = (Y+Z)/6 = (X+Z)/7 = k とおくと,
 X + Y = 5k, Y + Z = 6k, X + Z = 7k

この3式を足して
 2(X+Y+Z) = 18K ⇒ X+Y+Z = 9k

ここから,先の各式を引くと,
  Z = 4k, X = 3k, Y = 2k

よって, x : Y : Z = 3k : 2k : 4k = 3 : 2 : 4


  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 37% (1123/2963)

#1です。書き忘れました。 (1)はrei00さんのやり方でもOKですね。 要は、2つづつ項をまとめることがポイントです。 (2)は式を=k(kでなくても良いですが)とおくことがポイントです。
#1です。書き忘れました。

(1)はrei00さんのやり方でもOKですね。
要は、2つづつ項をまとめることがポイントです。

(2)は式を=k(kでなくても良いですが)とおくことがポイントです。
  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 44% (151/337)

1) 与式=x^2(X+3)-(X+3)=(X+3)(X^2-1)=(X+3)(X+1)(X-1) 2) 第一の等号の両辺に30をかけて整理:y=5z-6x・・・1) 第二の等号の両辺に42をかけて整理:z=6x-7y・・・2) 1)のzに2)を代入して整理:36y=24x, x:y=3:2 ここでx=3, y=2と決めてしまって2)に代入:z=4 x:y:z=3:2:4
1)
与式=x^2(X+3)-(X+3)=(X+3)(X^2-1)=(X+3)(X+1)(X-1)

2)
第一の等号の両辺に30をかけて整理:y=5z-6x・・・1)
第二の等号の両辺に42をかけて整理:z=6x-7y・・・2)

1)のzに2)を代入して整理:36y=24x, x:y=3:2
ここでx=3, y=2と決めてしまって2)に代入:z=4

x:y:z=3:2:4
  • 回答No.5

ほかの方が明快にといていらっしゃるので蛇足になるとおは思いますが書きます。(1)についてだけ。 f(x)=x^3+3x^2-x-3 こういう場合は最後の3に注目します。 3の約数は±1と±3ですよね。 それでとりあえず x=1 を代入すると 1^3+3*1^2-1-3=1+3-1-3=0 となり、値が0になるので x-1 でf(x)割り切れることがわかります。 同様に x= ...続きを読む
ほかの方が明快にといていらっしゃるので蛇足になるとおは思いますが書きます。(1)についてだけ。

f(x)=x^3+3x^2-x-3

こういう場合は最後の3に注目します。
3の約数は±1と±3ですよね。
それでとりあえず x=1 を代入すると

1^3+3*1^2-1-3=1+3-1-3=0

となり、値が0になるので x-1 でf(x)割り切れることがわかります。
同様に
x=-1を代入 (-1)^3+3*(-1)^2-(-1)-3=-1+3+1-3=0
x=3を代入 3^3+3*3^2-3-3=27+27-3-3≠0
x=-3を代入 (-3)^3+3*(-3)^2-(-3)-3=-27+27+3-3=0
から、他にも x-(-1) と x-(-3) で割り切れることが分かります。

よって
f(x)=(x-1)(x+1)(x+3)
となります。

一般に有理数係数n次方程式が“有理数”解を持つ場合は、0次の項をp/qと書くとき、

      (pの約数)
(その解)=――――――のどれか
      (qの約数)

となります。
要は、
「方程式に定数項の約数をつっこんで、因数分解のあたりをつける」
ということです。

長々とすいません。
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