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図形の問題が・・・(中学3年生)

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  • 質問No.213663
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お礼率 89% (127/142)

また、図形でわからない問題が出てきました。
ある一部分だけ、どうしてもわからなくて
答えが導き出せません。
解答の過程になるのですが
誰か、教えてください。

(問題)
三角すいV-ABCの1辺VAを1:2に分ける点A'を通り
平面VBCに平行な平面でこの三角すいを切り
2つの立体に分けた。立体AA'B'C'の体積を96(立方センチメートル)
とするとき、立体A'B'C'-VBCの体積を求めよ。

(解答)
三角すいA-A’B’C'と三角すいA-VBCは相似で
相似比は、2:(2+1)=2:3である。
相似比を利用すると、立体A'B'C’-VBCの体積は
96×((2分の3)の2乗ー1)=96×8分の19=228(立方センチメートル)

※ここで、ほとんど理解できるのですが
( )の中の、-1というところがわかりません。
面積比から、どうして1を引くのでしょうか?
この1というのが
どこから出てきたのかだけでもいいので
誰か教えてもらえないでしょうか?
よろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル8

ベストアンサー率 48% (15/31)

今夜は修士論文追い込みモード(徹夜モード)の家庭教師のお兄さんです(--;;
#昼間の件では一番乗りのつもりで書き込んでいたら、私の元へ遊びに来た後輩と
#話しこんでしまって、実際に書き込むと7番だったのには驚きました(笑)
#nyankomamaさんの質問の仕方が具体的でわかりやすいので
#みなさん答えやすいんですよね、きっと。
#今回は3番目かな?

> 三角すいA-A’B’C'と三角すいA-VBCは相似で
> 相似比は、2:(2+1)=2:3である。
> 相似比を利用すると、立体A'B'C’-VBCの体積は
> 96×((2分の3)の2乗ー1)=96×8分の19=228(立方センチメートル)

ちょっと考え込んでしまいましたがこれって
96×{(2分の3)の3乗-1}ですよね。
相似な図形の場合,「面積比は線分比の2乗、体積比は線分比の3乗」になります。
AA':A'V=2:1
AA':AV=AA':(AA'+A'V)
      =2:(2+1)
      =2:3
で、この3乗が8:27になるわけですが、
これで三角錐A-A'B'C'×(8分の27)をしてしまうと
出てくるものは「三角錐A-VBCの体積」になってしまい、
「三角錐A-A'B'C'一個分」を余計に持ってしまいますね。
そこでこの「一個分」を引いたわけです。
 (三角錐A-A'B'C')×(8分の27)-(三角錐A-A'B'C')
=(三角錐A-A'B'C')×(8分の27-1)
=(三角錐A-A'B'C')×(8分の19)
となったわけです。
ただし、別にこういう計算の仕方しか正解ではない!というわけではありません。
もちろん、上の3行のうちの1行目を計算して
 96×(8分の27)-96
=12×27-96
=324-96
=228
でも答えが出るわけです。私が家庭教師で生徒を教えるときは1行目のやり方で
教えます。図形問題が上手になってきて生徒に余裕が見られてくるようになったら
3行目のような計算の工夫の仕方も教えています。

本当はこういう「工夫の仕方」やいわゆる「テクニック」については
いろいろ書きたいことがあるのですが本意からそれてしまうので
ここでは書きません。受験本番まで間近ですね!
ちなみに私の最後の生徒は3日前、私立高校に合格することができました。
nyankomamaさんもお体に気をつけてがんばってください!
お礼コメント
nyankomama

お礼率 89% (127/142)

お返事が遅くなってすみません。
いつも教えてくれて
どうもありがとうございましたo(*^▽^*)o~♪
hestiaさんが
すごく丁寧に親切に教えてくれたおかげで
看護学校に合格することが出来ました!!

図形の問題が本当に苦手で
泣きながら勉強してました。
試験では、図形がたくさん出題されたんですが
1問しか出来なくて
合格は諦めていたので
本当に信じられなかったです!!

中学時代
赤点を取ってた私が
60点以上も試験で出来たことは
すごくうれしいです。

短い間でしたが
私のネット家庭教師になってくれて
本当にありがとうございました。

もう図形を勉強することは
ありませんが
今度は看護学の勉強を頑張ろうと
思っています!!
投稿日時 - 2002-03-22 09:02:17
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  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 25% (9/35)

この-1とは、三角錐A-A’B’C'の体積です。 全体V-ABCの体積から三角錐A-A’B’C'の体積96m3を 引くことで立体A'B'C’-VBCの体積がでますよね。 それを96でくくったから-1となったのです。 違ったらごめんね。 ...続きを読む
この-1とは、三角錐A-A’B’C'の体積です。

全体V-ABCの体積から三角錐A-A’B’C'の体積96m3を
引くことで立体A'B'C’-VBCの体積がでますよね。
それを96でくくったから-1となったのです。

違ったらごめんね。
お礼コメント
nyankomama

お礼率 89% (127/142)

ちょっと違ってるように思うんですが・・・
どうも教えてくれて
ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-03-22 08:54:26

  • 回答No.2
レベル6

ベストアンサー率 40% (4/10)

既に30近い会社員です。 中学生の問題、久しぶりに解いてみようと思ってお答えいたします。 >(解答) >三角すいA-A’B’C'と三角すいA-VBCは相似で >相似比は、2:(2+1)=2:3である。 >相似比を利用すると、立体A'B'C’-VBCの体積は >96×((2分の3)の2乗ー1)=96×8分の19=228(立方センチメートル) (1 ...続きを読む
既に30近い会社員です。
中学生の問題、久しぶりに解いてみようと思ってお答えいたします。

>(解答)
>三角すいA-A’B’C'と三角すいA-VBCは相似で
>相似比は、2:(2+1)=2:3である。
>相似比を利用すると、立体A'B'C’-VBCの体積は
>96×((2分の3)の2乗ー1)=96×8分の19=228(立方センチメートル)

(1)まず、最後の文章ですが2乗ではなく、3乗ですよね?
「96×((2分の3)の3乗-1)=96×8分の19=228(立方センチメートル)」
(2)1を引く理由ですが、「立体A'B'C'-VBC」の体積だということに注意してください。これは、三角すいA-VBCから三角すいA-A'B'C'の体積を引けば出てきますよね。
だから、
「三角すいA-VBCの体積=96×((2分の3)の3乗)」から「三角すいA-A'B'C'の体積=96」を引けばよいわけです。
それを計算式にすると「96×((2分の3)の3乗)-96」になりますよね。
これを96でくくった式で表現すると
「96×((2分の3)の3乗-1)」になりませんか?

つまり「-1」は三角すいA-A'B'C'の体積分を表しているのです。
文章にすると説明が分り難いかもしれませんが、参考となれば幸いです。
お礼コメント
nyankomama

お礼率 89% (127/142)

どうもありがとうございました。
私も久しぶりに図形の勉強して
本当に大変でした^^
投稿日時 - 2002-03-22 08:55:55
  • 回答No.4
レベル14

ベストアンサー率 37% (1123/2963)

すでに3人の方から"-1"については回答されてますので、 ちょっと蛇足的なアドバイスを。 >三角すいV-ABCの1辺VAを1:2に分ける点A'を通り >平面VBCに平行な平面でこの三角すいを切り >2つの立体に分けた。立体AA'B'C'の体積を96(立方センチメートル) >とするとき とありますが、B ...続きを読む
すでに3人の方から"-1"については回答されてますので、
ちょっと蛇足的なアドバイスを。

>三角すいV-ABCの1辺VAを1:2に分ける点A'を通り
>平面VBCに平行な平面でこの三角すいを切り
>2つの立体に分けた。立体AA'B'C'の体積を96(立方センチメートル)
>とするとき
とありますが、B',C'って?
多分、「点A'を通り平面VBCに平行な平面」とAB,ACとの交点をそれぞれB',C'とする、ってことですよね。

さて、△VABと△A'AB'について考えます。
∠VAB=∠A'AB’(共通)
A'B'//VBから、∠AVB=∠AA'B'(同位角)
2角が等しいから、△VAB∽△A'AB' となります。
同様に△VAC∽△A'AC'、△ABC∽△AB'C'が言えます。
AV:AA'=3:2ですから、△VABと△A'AB'、△VACと△A'AC'の相似比が
3:2になるのは良いですね。
するとAB:AB'=3:2になるので、△ABCと△AB'C'の相似比も3:2です。

これらから、A'B':VB=A'C':VC=B'C':BC=3:2となり、
3辺の比がそれぞれ等しいので、△VBC∽△A'B'C'となります。

4面すべて、相似になるので、立体 V-ABCとA'-AB'C'も相似となる訳です。

(完全に余談でしたね。)
お礼コメント
nyankomama

お礼率 89% (127/142)

アドバイスありがとうございます。
わかりやすい説明で
助かりました。
わからないところが解決できて
うれしいです!!
投稿日時 - 2002-03-22 09:13:02
  • 回答No.5
レベル9

ベストアンサー率 24% (15/61)

 ニャン子ママさんこんにちは。昨日の発展問題をやってみましたか?  では、図形の相似を掃除しましょう。(さぶ~)  三角形の平面から。  三角形ABCをかいてください。それと同じ(合同)三角形を8個かいて合計9個の三角形で大きい三角形をつくります。それが準備です。  「1:2の相似の三角形」といわれたらどこに着目しますか?1:2の相似ということは1辺が2倍になった三角形ということですから、面積 ...続きを読む
 ニャン子ママさんこんにちは。昨日の発展問題をやってみましたか?
 では、図形の相似を掃除しましょう。(さぶ~)

 三角形の平面から。
 三角形ABCをかいてください。それと同じ(合同)三角形を8個かいて合計9個の三角形で大きい三角形をつくります。それが準備です。
 「1:2の相似の三角形」といわれたらどこに着目しますか?1:2の相似ということは1辺が2倍になった三角形ということですから、面積は4倍(三角が4個分)になってますね?
 
 *「相似」と出題されたとき、1辺が2倍になっていたら面積は4倍になる。(←重要!)
 
 「1:3の相似」なら9個の三角形に注目してね!1辺が3倍になっていて面積は9倍になってますね?
 
 *「相似」と出題されたとき、1辺が3倍になっていたら面積は9倍になる。(←重要!)
 
  *1辺が@倍になっていたら、面積が@の2乗になっていることに気づいたかな?(←最重要!!)

 前の正四角すいの底面を思い出してね。小さい四角と大きい四角は1:2の相似で、1辺が2倍で面積が4倍(つまり2の2乗倍)だったね。

 ここから立体です。
 三角すいの体積の求め方は「底面積×高さ×3分の1」でしたね。
 「1:2の相似」のとき。さっきやったように面積は2の2乗で4倍ですね、高さは2倍(←絵に描くと高さが2倍になってることがわかります)、×3分の1。これで三角すいの体積はできました。
 「2:3の相似」のときは(これが分からなくての質問でしたね)。1辺が2分の3倍だから面積は4分の9(2分の3の2乗)ですね。いまここで(@。@)となったら、三角を9個かいて作った大きい三角までもどってね。
 面積(2分の3の2乗)×高さ2分の3倍×3分の1=2分の3の3乗×3分の1。
 
 *「相似」と出題されたとき、1辺が2倍になっていたら体積は8倍になる。(←重要!)
 
 *1辺が@倍になっていたら、面積が@の3乗になっていることに気づいたかな?
(←最重要!!)

 これが理解できればどんな問題もこの延長です。「相似」に気が付けば全部できます。では、がんばってください。(^^)/~~
お礼コメント
nyankomama

お礼率 89% (127/142)

返事が遅くなって
すみませんでした。

アドバイスありがとうございます。
親切でわかりやすい説明をしてくださり
とても助かりました♪

先日、看護学校の合格発表があり
おかげさまで合格してました!!

相似の問題も出題されたのにもかかわらず
正しい「相似」を見つけることが出来なくて
合格は諦めていたのですが
約3倍の競争率を勝ち取りました!!

本当にどうもありがとうございました。
千里の道も一歩からという感じで
これからも頑張っていこうと思っています^^

PS 発展問題は出来ませんでした(_ _。)
  ごめんなさい。 
投稿日時 - 2002-03-22 09:17:49
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