偏微分

質問

Φ＝cosΘiのとき
riで偏微分したいのですが
cosΘi=(rij,rik)/|rij||rik|
です。
解き方と答えを教えてください。

回答No.3

atsuota

#2でsiegmundさんが書かれた定義
「点P(i),P(j),P(k)があり、
点P(i)からP(j)へのベクトルをrijと表す。」
を採用します。もし問題文を見て定義が違うようなら、読み替えてください。
また問題は「3次元直交座標系」で考えてよいと思われるので、その条件の元で考えていきます。
そこで、まず点P(i)の座標を(xi,yi,zi)と表すことにすると、内積およびベクトルの大きさの定義により、
(rij,rik)=(xj-xi)(xk-xi)+(yj-yi)(yk-yi)+(zj-zi)(zk-zi).....(1)
|rij|=√{(xj-xi)^2 + (yj-yi)^2 + (zj-zi)^2}.....(2)
となりますね。
これを用いて
Φ=cosΘi=f(xi,xj,xk,yi,yj,yk,zi,zj,zk)
と表すことができます。（関数fの具体的な形は定義式に実際に式(1)(2)を代入してみてください）
これより、P(i)でのΦの∇は、
∇Φ=(∇iΦ,∇jΦ,∇kΦ)
　　=(∂Φ/∂xi,∂Φ/∂yi,∂Φ/∂zi)
となりますね。
こいつをゴリゴリと計算する方法が、一番原始的ですが、確実です。

別解として、余弦定理
|rij|^2 + |rik|^2 - 2*(rij,rik) = |rjk|^2.....(3)
を用いると、
Φ = cosΘi
　 = (1/2)*{|rij|/|rik| + |rik|/|rij| - |rjk|^2/|rij||rik|}.....(4)
となります。
ここで
∂|rij|/∂xi = (xi-xj)/|rij|.....(5)
（これは式(2)を使って実際にやってみてください）
∂(1/|rij|)/∂xi = (∂(1/|rij|)/∂|rij|)*(∂|rij|/∂xi)
　　　　　　　　　= - (xi-xj)/(|rij|^3).....(6)
（これは式(5)を使って実際にやってみてください）
を用いて計算をすすめていくと、

∂Φ/∂xi = {(rji,rjk)/|rij||rik|}*{(xi-xj)/|rij|^2}
　　　　　+ {(rki,rkj)/|rij||rik|}*{(xi-xk)/|rik|^2}.....(7)

となるので、まとめると、

∇Φ = {(rji,rjk)/|rij||rik|}*{rji/|rij|^2}
　　 + {(rki,rkj)/|rij||rik|}*{rki/|rik|^2}.....(8)

となりました。
（最後がちゃんとベクトルになってるのを確認してください。もしわからないようなら、また補足してください。）

補足

返答ありがとうございます
非常にわかりやすい説明ではあるのですが
自分で解いてみると７から８にまとめることができませんでした
簡易的なもので結構ですので導いてもらえないでしょうか？
あとΦ=cosΘjのときの∇Φriの偏微分の解も教えてもらえないでしょうか
少し混乱してて申し訳ありませんがよろしくお願いします。