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サイコロの問題で・・・。

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お礼率 90% (48/53)

n個このサイコロをふり、出た目の数の和が7の倍数である確率をSnとする。
(1)Sn+1 を Sn を用いて求めよ。
(2)Snを求めよ。

(1)をやろうとしたのですが周期がよく分からなくて(書き出したら7周期に1回狂う)とまってしまいました。
(2)は(1)が解けなかったので、無理でした。が、特性方程式にするのだと思いました。

誰か教えてください。
(入試問題で問題を回収されてしまったので、不備がありましたら追加質問を。)
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル3

ベストアンサー率 100% (1/1)

(1)
出た目の数の和が7の倍数のときは、もう1個振っても7の倍数にはなりません。
7の倍数でない確率は1-Snで、和として考えられるのは
(7a+1)(7a+2)(7a+3)(7a+4)(7a+5)(7a+6)のいずれかです。
いずれの場合ももう1個振ったときに7の倍数になる確率は1/6なので
答えは Sn+1=0*Sn+1/6(1-Sn)
      =1/6(1-Sn)
です。
(2)
Sn = 1/6(1-Sn-1)
Sn-1 = 1/6(1-Sn-2)
なので
Sn - Sn-1 = -1/6(Sn-1 - Sn-2)
= (-1/6)^(n-2) (S2 - S1)
S2 = 1/6,S1 = 0なので
= 1/6 (-1/6)^(n-2)
= (-1)^(n-2) / 6^(n-1)

(1)のSn-1 = 1 - 6Snを使って
Sn - Sn-1 = 7Sn - 1 = (-1)^(n-2) / 6^(n-1)
Sn = 1/7 ( (-1)^(n-2) / 6^(n-1) + 1) (n>=1)
です。
お礼コメント
yuiyuio

お礼率 90% (48/53)

詳しい解答ありがとうございました。
どうにかこうにか、分かりました。
投稿日時 - 2002-02-21 00:09:12
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その他の回答 (全2件)

  • 回答No.2
レベル12

ベストアンサー率 33% (159/480)

まず、場合の数で考えます。Anとします。ついでに、あまり1の場合をBn、 あまり2の場合をCn・・・あまり6の場合をGnとします。 An+Bn+・・・Gn=6^nですね。また、Sn=An/6^nです。 (1) n個のサイコロで7の倍数になった場合は、もう1個加えると7の倍数には なりません。n個であまり1だった場合はそれに「6」を加えれば7の倍数になります。 同様にあまり2だったら「5」・・ ...続きを読む
まず、場合の数で考えます。Anとします。ついでに、あまり1の場合をBn、
あまり2の場合をCn・・・あまり6の場合をGnとします。
An+Bn+・・・Gn=6^nですね。また、Sn=An/6^nです。

(1) n個のサイコロで7の倍数になった場合は、もう1個加えると7の倍数には
なりません。n個であまり1だった場合はそれに「6」を加えれば7の倍数になります。
同様にあまり2だったら「5」・・・というように必ずn+1個目のサイコロの目1つを
組み合わせてやれば7の倍数になります。
つまり、An+1=Bn+・・・Gn=6^n-An
∴Sn+1=(1/6)*(1-Sn)

(2) An=6^(n-1)-An-1
これを解けば、An=6^(n-1)-6^(n-2)+6^(n-3)・・・6
最後の6に付く符号はnが偶数の時は+、奇数の時は-です。
∴An=(6^n+6)/7 (n=even)
(6^n-6)/7 (n=odd)
∴Sn=(1+1/6^(n-1))/7 (n=even)
(1-1/6^(n-1))/7 (n=odd)
お礼コメント
yuiyuio

お礼率 90% (48/53)

ありがとうございました。
解けました。
投稿日時 - 2002-02-21 00:10:20


  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 36% (36/98)

回答でもアドバイスでもなく報告ですが・・・。 私は、問題の場合の数を求めるために,実際に書き出してみました。 その結果は、 サイコロが2個の時、6通り。 サイコロが3個の時、30通り。 (内訳は、合計が7になる場合が15通り、合計が14になる場合が15通り。) サイコロが4個の時、186通り。  (内訳は、合計が7になる場合が20通り、合計が21になる場合が20通り、 合計が14になる場合 ...続きを読む
回答でもアドバイスでもなく報告ですが・・・。
私は、問題の場合の数を求めるために,実際に書き出してみました。
その結果は、
サイコロが2個の時、6通り。
サイコロが3個の時、30通り。
(内訳は、合計が7になる場合が15通り、合計が14になる場合が15通り。)
サイコロが4個の時、186通り。 
(内訳は、合計が7になる場合が20通り、合計が21になる場合が20通り、
合計が14になる場合が、146通り。この146通りの内訳は、1個目のサイコロの目を1とした場合が21通り、同じく2とした場合が25通り、3とした場合が27通り、4とした場合が27通り、5とした場合が25通り、6とした場合が21通り。)
です。
お礼コメント
yuiyuio

お礼率 90% (48/53)

解けました。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-02-21 00:11:21
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