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陰関数の極値

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x^3-3axy+y^3=0 (a>0) で、陰関数yの極値を求めたいのですがよく分かりません。
やり方を詳しく教えてください、よろしくお願いします。
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レベル13

ベストアンサー率 61% (647/1050)

 
  当然のことですが、これはxとyの関数で、xに対しyの値が変化し、yの極値を求めるということですね。
 
  dy/dxという関数を計算し、これを0とした時が、yの極値です。ただ、上の極値か、下の極値からは、これだけでは分かりませんが、それは質問に入っていません。提示の式全体を、xで微分します。
 
  3x^2-3ay-3ax(dy/dx)+3y^2(dy/dx)= 0
  (-3ax+3y^2)(dy/dx)= 3ay-3x^2
 
  ここまではよいでしょうか。これから
 
  dy/dx= 3(ay-x^2)/3(y^2-ax) =(ay-x^2)/(y^2-ax)= 0
 
  条件 y^2-ax not = 0 (not = は、「=でない」です)
  ay-x^2= 0 → y=x^2/a
  これを、最初の式に代入します
 
  x^3-3ax(x^2/a)+(x^2/a)^3 = 0
  -2x^3+x^6/a^3 = 0
  x^3 = X として代入すると -2X+X^2/a^3 = X(X/a^3 -2) = 0
  よって X=0 または X=2a^3
  この時 x=0 または x=a√/3/(2)=a(2^(1/3))
  
  y=x^2/a でしたから、y=0 または y=a(2^(2/3))
 
  条件は、y^2-ax not = 0 でした。
  x=0 y=0 の解は、この条件を満たしません。0になるからです。
  もう一つの解は
  a^2(2^(4/3))-a^2 (2^(2/3)) で
  これが0になる時は、a=0 ですが、これはa>0から除外されます。
 
  従って、回答は
  x=a(2^(1/3)) で、y=a(2^(2/3)) です。
 
  ちょっと下手な解き方かも知れません。
  考え方、解き方、実際の解く手順を上に詳しく記しました。
  考え方や解き方で分からない部分があれば、尋ねてください。
 
  また、途中で計算を間違えていることがあるかも知れません。それは、自分で計算してみて、答えを求めてみて、確認してください。解き方の質問ですから、これでよいと思います。
 
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