中学生レベルのハズ何ですが・・・

質問

Ａ　＿＿＿＿＿＿＿＿　Ｄ
　｜＼　　　　　ｘ度／｜（注・正方形でも長方形でも無くただの四角形でです）
　｜　　＼　　　　／　｜（微妙な線は全部、直線のつもりです、、、）
　｜　　　＼　／　　　｜
　｜　　　／＼〇　　　｜
　｜42　／　　＼　54｜
　｜度／　　　　　＼度｜
　｜／42度　　30度＼｜
Ｂ　￣￣￣￣￣￣￣￣　Ｃ

中学生の時にチャレンジした問題なんですが、難問です。でも、有名な問題らしい
ので知ってる人、いると思います。是非、分かりやすい解説お願いします。

ちなみに図は有った方が分かりやすいと思っただけで、

条件が、
・ＡＢＣＤは四角形である。
・ＡＣとＢＤの対角線の交点をＯとする。(問題的には特に意味は無いです。)
・角ＡＢＤ＝42度、角ＤＢＣ＝42度、角ＡＣＢ＝30度、角ＡＣＤ＝54度である。
の時、角ＡＤＢ（＝ｘ度）の値を求めよ。
という問題です。よろしくお願いします。

回答No.11

b_black · ベストアンサー

次の四つの点を求める
OからBCへの垂線の交点E
OからABへの垂線の交点F
ODの中点G
FGとOAの交点H

１）三角形BEO三角形BFOは合同
２）三角形OECは正三角形の半分
よってOE=OF=OG=GD,角OFG=角OGF=24度
直角三角形AFOから角HOF=角HFO=24度そして角HAF=角HFA=66度
二等辺三角形HOFと二等辺三角形HFAからOH=HA
従ってOG=GDよりHGはADの平行線である,すなわち角OGH=角ODA=24度となる

お礼

素晴らしいです！！！！
これぞ、僕が求めてた回答です！！！！！
本当にありがとうございます！！！！！
こんな補助線の引き方僕には絶対思いつきません！！！！！
ありがとうございました！！！！！

回答No.13

b_black

舌足らずな解答を丁寧に読みとってくれたhinebotさんに感謝します

>従ってOG=GDよりHGはADの平行線である,すなわち角OGH=角ODA=24度となる
上記の部分を下記のようにした方が自然かと思い直しました

二等辺三角形AODと二等辺三角形HOGは相似形である
よって角OGH=角ODA=24度となる

お礼

「舌足らず」だなんて、そんなことありません。重要な所は押さえてますし、
シンプルで分かりやすかったです。

忙しくて、お礼遅れましたが、本当にありがとうございます。
ポイント、２００点ぐらい差し上げたいぐらいです。(笑)

回答No.12

hinebot

b_blackさんの回答について、補強を兼ねて検証を。

>次の四つの点を求める
>OからBCへの垂線の交点E
>OからABへの垂線の交点F
>ODの中点G
>FGとOAの交点H

>１）三角形BEO三角形BFOは合同
これは
OB=OB（共通）
∠OEB＝∠OFB＝90°
∠OBE＝∠OBF＝42°
直角三角形で、斜辺と１つの角がそれぞれ等しいことから言えます。
>２）三角形OECは正三角形の半分
∠OCE＝30°より、∠COE＝60°なので、これもOK。
>よってOE=OF=OG=GD,角OFG=角OGF=24度
１）からOE=OF
∠OCD＝∠ODC＝54°より、OD＝OC（△OCDは二等辺三角形）
これと２）より、OE=1/2・OC=1/2・OD＝OG=GD
よって、OE=OF=OG=GD
一方、∠FAO＝66°なので、∠AOF＝180－（66＋90）＝24°
∠AOG＝108°より、∠FOG＝∠AOF＋∠AOG＝108＋24＝132°
△OFGは二等辺三角形だから、∠OFG＝∠OGF＝（180－132）/2＝24°
で言えました。

>直角三角形AFOから角HOF=角HFO=24度そして角HAF=角HFA=66度
∠HOFと∠HFOは上記で示したとおり。
∠HFA＝∠AFO－∠HFO＝90－24＝66°
よって、△HOFはHF=HO,△HFAはHF=HAの二等辺三角形
>二等辺三角形HOFと二等辺三角形HFAからOH=HA
これもOK。
>従ってOG=GDよりHGはADの平行線である,すなわち角OGH=角ODA=24度となる
これは、GはODの中点、HはOAの中点であることから中点連結定理ですね。

いやー、おみごと！！
脱帽です。

お礼

ご丁寧に分かりやすい説明ありがとうございます！！！！
本当に脱帽ですよね。

回答No.10

may-may-jp

No.7のmay-may-jpです。
そうですか、やっぱりダメですか・・・>_<
どなたか、解法を・・・。気になって夜も眠れません（ウソ）。

私の母（元数学教師）が「方べきの定理」を使えばナントカ、と申しておりました。

参考URL：

http://www2.tokai.or.jp/yosshy/theorem/hobeki.htm

回答No.9

yacob

おはようございます。No.4 の yacob です。

図形上には ∠AOF のように24度の角が、現れていますが、これを含む三角形が、∠ADO を含む三角形と相似であることを幾何学的に証明できればと思いますものの、他の方々と同じ様に、うまく行かなくて困っています。

前回の回答では、途中に計算を挟みましたために、「X=約24度」とご指摘を頂きましたが、その後、下記のように、正確に24度である説明が出来ましたのでご報告します。

回答の終わりから5行目
sin x= (sin 72・cos x－cos 72・sin x) /(2 sin 66)
の式からの続きです。

この式を整理して、
(2sin 66 + cos 72)sin x = sin 72・cos x
tan x = sin x/cos x = sin 72/(2sin 66 + cos 72)

3倍角の公式などを使って、 この式の内
sin 72 = sin (3・24) = 3sin 24 - 4sin^3(24)
sin 66 = cos 24
cos 72 = cos (3・24) = 4cos^3(24) - 3cos 24

以下、sin 24 = a , cos 24 = b と書きます。上の式をこれで書くと、

　tan x = sin x/cos x =　(3a - 4a^3)/(2b + 4b^3 - 3b)
= (3 - 4a^2)a/(4b^2 - 1)b

ここで、a^2 + b^2 = 1 から, b^2 に 1-a^2 を代入して,

= (3 - 4a^2)a/(4(1 - a^2) - 1)b
= (3 - 4a^2)a/(3 - 4a^2)b
= a/b

すなわち、
　　　　= sin 24/cos 24
よって、
x = 24度

回答No.8

hinebot

回答ではありませんが。
私もずっと考えていてまだ答え（解法）を見つけられないのですが、
may-may-jpさんの理屈？はだめだという指摘だけ。ただ、道筋は良い気がします。

>いかがでしょう？平行移動は角度が同じ、というのはかなりこじつけだと自分で
>も思ってます。果たしてそんな法則があったのか、確かに面積は同じ（等積変形）だけど・・・という感じです。
とコメントされてますが、平行移動は角度が同じなんて法則は成り立ちません。
円に弦を２つ平行になるように引いてください。交点を左上から反時計回りにa,b,c,d(本題と混同するかもなので小文字にします）とし、ad//bcとします。
線分ad上のa,dではない任意の点pに対し　角bac=角bdc＜角bpc になるでしょ。

>∠ACE＝∠ADE＝30°
これを言うためには点A,E,C,Dが同一円周上にあることが必要です。
同様に
>∠BFE＝∠BDE＝6°
を言うには点B,E,D,Fが同一円周上にあることを示す必要があります。

さらに
>点Fから辺BCに対する垂線を引くと点Bに達する（たまたま発見）
これを作図から導くのではなく、ちゃんと∠FBE＝90°であることを示さないといけません。
そこで、Eの定義はそのままに、Fの定義を「BからBCに垂直な直線をひき、EAとの交点をFとする」と変えてしまいましょう。

∠ABF＝∠FBE－∠ABE＝90°－42°×2＝6°
∠ABE＝12°で、三角形の内角と外角から
から、∠AFB＝12°－6°＝6°となります。
ここで三角形ABFはAB＝AFの二等辺三角形になります。
三角形ABEも二等辺三角形ですから　AB＝AF＝AEとなり、B,F,Eは点Aを中心とする同一円周上にあることが分かります。

とここまではできたのですが、この先が…。参考にもなんにもなりませんね。

回答No.7

may-may-jp

考えてみました。自信なしもかなり自信なしの回答です。

辺BC上にAE//CDとなるような点Eを取ります。
このとき、AEとBDとの交点をPとおきます。
また、四角形ECDFが平行四辺形となるような点Fを、辺EAの延長上に取ります。

AE//CDより、
∠AEB＝∠C＝84°＝∠B
なので、△ABEはAB＝AEの二等辺三角形になり、∠BAE＝12°となります。

次に、AE//CDより、
∠ACE＝∠ADE＝30°（この辺自信なし）

点Fから辺BCに対する垂線を引くと点Bに達する（たまたま発見）ので、
∠DFE＝84°より、∠AFB＝6°

したがって、BC//FDより、∠BFE＝∠BDE＝6°（自信なし）

これより、
∠PDA＝∠ADE－∠EDP＝24°

答え　24°（かなり自信なし）

いかがでしょう？平行移動は角度が同じ、というのはかなりこじつけだと自分でも思ってます。果たしてそんな法則があったのか、確かに面積は同じ（等積変形）だけど・・・という感じです。
間違ってたらご指摘ください・・・>_<

回答No.6

tiezo-

この問題は、整角四角形（ラングレー）の問題です。
与えられた角度のよって解法が違うようです。
内心を使って考えていますが、難しそうですね..

お礼

ありがとうございます★
ラングレーの問題と言うのですか。
数学用語が増えました♪ありがとうございます。

回答No.5

may-may-jp

多分、∠B＝∠Cを使って、補助線を引いて・・・とやるんだと思います。
あと、∠ABO＝∠OBCなので、そこら辺も「辺の比」という形で使うかもしれません。

中学受験でも出てきたような気が・・・。

回答No.4

yacob

既に出ている回答と異なりますし、又、３角関数の真数を使う点が気になりますが、つぎのように考えました。計算に間違いがあるかも知れず、あわせてご検討ください。

OからAB,BCの２辺に立てた垂線の足を、F, Eとします。∠ABO=∠CBOですから、OE=OFです。また、既に出ている回答の通り、CO=DOです。
ΔCEOにおいて、CO=nとして、OE=CO・sin ∠FOC=CO・sin 30=n/2
ΔAFOにおいて、AO=m として、m=AO=OF/sin 66=n/(2 sin 66)
ΔADOにおいて、∠AOD=108です。ここで∠ADO=x,∠DAO=yとすれば、
m・sin y=AO sin y=DO sin x=n・sin x、 (1)
かつ、y=180－(108+x) ですから、
sin y=sin (180－(108+x))=sin (72－x)=sin 72・cos x－cos 72・sin xで、すなわち、
m・sin y= m(sin 72・cos x－cos 72・sin x)= (sin 72・cos x－cos 72・sin x) n/(2 sin 66) 　　(2)
(1)、(2) より、
sin x= (sin 72・cos x－cos 72・sin x) /(2 sin 66)
sin x(2 sin 66+cos 72)=sin 72・cos x
tan x=sin 72/(2 sin 66+cos 72)
これを計算すれば、tan x=0.445
よって x=24度

お礼

はい。回答ありがとうございます。
実際に作図(分度器使って。)してみた所、約２５度ぐらいになるようです。
ですから、３６度では無いだろうな・・・とは思っていたんですが・・・

途中計算はまだ大まかにしか見ていませんが、なるほど、三角関数ですか、
(こんな問題が何で中学の時に出てきたんだろう・・謎)
それで、最終的にtanｘの式に持っていくんですね。。
でもこの場合ですと、あくまで「x=約24度」ですよね。
中学の時に出た問題であるからには、多分整数になるんだと思うのですが・・・
どうでしょう。三角関数使わずに解く事は出来ないのでしょうか？

でも、本当に有り難う御座います。それらしい回答を頂いてとっても心強いです★
もう少し、よろしくお願いします。（もちろん、他のみなさんもよろしくお願いします。）

回答No.3

ADEMU

簡単に考えましょう。
まず、三角形ＡＣＤの辺ＣＤに平行な線をＯからＡＤに向かって引いてください。
ＡＤとの交点をＥとすると、∠ＡＯＤは１０８°ですので∠ＡＯＤは∠ＡＣＤと同じく５４°です。
よって∠ＤＯＥも５４°になり∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡとなります。
よってＸは３６°になります。

補足

回答はありがとう御座います。
ただ、ごめんなさい。
「∠ＡＯＤは１０８°ですので∠ＡＯＤは∠ＡＣＤと同じく５４°です。
　よって∠ＤＯＥも５４°になり∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡとなります。
　よってＸは３６°になります。」
の意味が分かりません。
解説お願いできますか？
というより間違ってませんか？
本当に、せっかく回答していただいたのに文句は言いたくないのですが、
「自信あり」でこう立て続けに間違えられると・・・どうも、、、