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お礼率 67% (19/28)

なんか質問ばかりですいません。
n:自然数、t(0<=t<=Π)を媒介変数とする方程式
x=1-e^(-t) , y=(sint)^(2n)
で表される平面上の曲線とx軸で囲まれた部分の面積をS_nとするとき
(1) S_(n-1) とS_n の関係式を求めよ (答:S_n={2n(2n-1)/(4n^2 +1)}S_(n-1)
(2) S_nを求めよ  (答:S_n={1-(1/e^Π)}*【(2n)!/[(4n^2 +1)*{4(n-1)^2 +1}* … *5]】
という問題があるんですが、解き方か解き方の手順を教えていただきたいです。お願いします。
(e=自然対数)
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

できたよ。予想通り、概念は簡単で計算は難しかった。

グラフの概形はちゃんと調べたよね?
原点から増加してx=1-e^(-π/2)で最大値1をとり、 今度は減少してx=1-e^(-π)で最小値0をとる。書きにくいので詳しくは書かないよ。

  t  |0 | π/2 | π |
dx/dt|    +        |
dy/dt| + |  0  | -   |

したがって点(x,y)の速度ベクトルを考えることにより、上記の結論が得られるわけだ。

で、計算が問題になっているわけだ。「じゃあがんばってね」と言いたいところだが積分の計算が出来ない高校生は割りと多い。そこでまた解説しよう。ちなみに私は部分積分法とやらは知らない。だから参考URLも参考にしてね。

Sn=∫(from 0 to 1-1/e^π) ydx
  =∫(from 0 to π) y(dx/dt)dt
  =∫(from 0 to π) e^(-t)(sint)^2n dt

eがあるのでとりあえずそのまま微分してみよう。
{e^(-t)(sint)^2n}’=-e^(-t)(sint)^2n+2ne^(-t)cost(sint)^2n-1 (1)

まだ2ne^(-t)cost(sint)^2n-1が残ってる。これもeがついているからそのまま微分してみよう。
{2ne^(-t)cost(sint)^2n-1}’
=~計算省略~
=-2ne^(-t)cost(sint)^2n-1+2n(2n-1)(sint)^2n-2-4n^2e^(-t)(sint)^2n (2)

(1)+(2)より、
{e^(-t)(sint)^2n+2ne^(-t)cost(sint)^2n-1}’
=(-1-4n^2)e^(-t)(sint)^2n +2n(2n-1)e^(-t)(sint)^2(n-1)

[e^(-t)(sint)^2n+2ne^(-t)cost(sint)^2n-1](from 0 to π)=0なので、
0= (-1-4n^2)Sn+2n(2n-1)Sn-1
⇔Sn={2n(2n-1)/(4n^2 +1)}Sn-1

以上!漸化式はご自分で解いてお礼に「答案」を書いてください。
お礼コメント
j_takoyaking-man

お礼率 67% (19/28)

なるほど、こういうやり方があったんですね。ありがとうございます。

しかし、省略されている所が分かりません。
{f(x)g(x)h(x)}'
={f(x)g(x)}'*h(x)+{f(x)g(x)}h'(x)
={f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}h(x)+{f(x)g(x)}h'(x)
=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x) として計算してみると、
2n{e^(-t) cost (sint)^(2n-1)}'
=2n{-e^(-t)cost(sint)^(2n-1) -e^(-t) sint (sint)^(2n-1) +e^(-t) cost cost (2n-1) (sint)^(2n-2)}
となり、書いていただいたのと同じになりません。{f(x)g(x)h(x)}'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)が違うのでしょうか?すみませんが教えていただけますか?おねがいします。

Snの方は、
Sn={2n(2n-1)/(4n^2 +1)}Sn-1
={2n(2n-1)/(4n^2 +1)}*[2(n-1)(2n-3)/{4(n-1)^2+1}]*Sn-2
=…
とn-1を下げていく。これが1になったとき、(←この様な表現でいいでしょうか?)
S_1={2(2-1)/(4-1)}S_0
=(2*1/5)S_0
またS_0=∫(0~1-e^-Π) (sint)^0 dx
=∫(0~Π) e^-t dt
=[-e^-t](0~Π)
=(1-1/e^Π)となるので
Sn=【{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)* … * 2*1}/[(4n^2+1){4(n-1)^2+1}* … *5]】*S_0
=【{(2n)!}/[(4n^2+1){4(n-1)^2+1}* … *5]】*(1-1/e^Π)
となって答えと合ってるんですが、問題にnは自然数と書いてあるのにS_0を求めてもいいのですか?
投稿日時 - 2002-02-03 17:21:56
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

まず、面積を数式で表す努力をしよう。これは私の直感だが、面積を求める過程でS_(n-1) とS_n の関係式は必ず出てくる(と思う)。 ところで面積は求められるよね。Sn=∫ydx から地道に解いていくんだよ。
まず、面積を数式で表す努力をしよう。これは私の直感だが、面積を求める過程でS_(n-1) とS_n の関係式は必ず出てくる(と思う)。

ところで面積は求められるよね。Sn=∫ydx から地道に解いていくんだよ。

  • 回答No.2
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

種類:アドバイス どんな人:専門家 自信: あり ええと。ちなみに上記ですが、面積体積を求める問題は計算は難しいが、一番頭を使わない問題なので「どんな人:専門家」としてあるのデス。今回は数(3)と数Aの融合問題です。「数(3)と数A」の組み合わせは最近の主流なので注意しましょう。 個人的には数(3)と数Cの融合問題が難しかった。 まあ、間違ってもいいから「自信を持って」お礼に解答を書いてく ...続きを読む
種類:アドバイス
どんな人:専門家
自信: あり

ええと。ちなみに上記ですが、面積体積を求める問題は計算は難しいが、一番頭を使わない問題なので「どんな人:専門家」としてあるのデス。今回は数(3)と数Aの融合問題です。「数(3)と数A」の組み合わせは最近の主流なので注意しましょう。
個人的には数(3)と数Cの融合問題が難しかった。
まあ、間違ってもいいから「自信を持って」お礼に解答を書いてください。
お礼コメント
j_takoyaking-man

お礼率 67% (19/28)

すみません、
∫(0~1-1/e^Π) (sint)^2n dx
=∫(0~Π) e^(-t) (sint)^2n dt
で、f(t)=(sint)^2nと置いて部分積分してみましたが、
[-e^(-t)(sint)^2n](0~Π) +2n∫(0~Π) (sint)^(2n-1) cost e^(-t) dt
=2n∫(0~Π) (sint)^(2n-1) cost e^(-t) dt
となり、これ以降どうすればいいか分かりません…。
それから、数Aとの融合問題とは?数列ですか?
投稿日時 - 2002-02-02 16:04:23
  • 回答No.4
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

>2n{-e^(-t)cost(sint)^(2n-1) -e^(-t) sint (sint)^(2n-1) +e^(-t) cost cost (2n-1) (sint)^(2n-2)} となり、書いていただいたのと同じになりません。 おいおい。合っているぞ。 (cost)^2=1-(sint)^2 ok? sint (sint)^(2n-1) =? (sint)^(2n-2) ...続きを読む
>2n{-e^(-t)cost(sint)^(2n-1) -e^(-t) sint (sint)^(2n-1) +e^(-t) cost cost (2n-1) (sint)^(2n-2)} となり、書いていただいたのと同じになりません。

おいおい。合っているぞ。
(cost)^2=1-(sint)^2 ok?
sint (sint)^(2n-1) =?
(sint)^(2n-2) =(sint)^2(n-a) a=?

> 問題にnは自然数と書いてあるのにS_0を求めてもいいのですか?
2で止めて計算してみたら?つまり、S2=12/17・S1 としてS1を求める。何の矛盾もない。
お礼コメント
j_takoyaking-man

お礼率 67% (19/28)

なぜ同じにならなかったのか分かりました。(2)の式の二項目、e^-tが抜けてますね。それにしようとしてましたがなるわけありませんよねぇ。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-02-04 17:32:36
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