０? ０でない?

質問

例えば、
y=(a^t)*sint　（a:定数,　t:実数全体)
という関数があったとすると、y=0になるのはsintが０になる、　t=0、Π、2Π、3Π、…
だと思うんですが(違ってないですよね？)、
t=－∞ のとき
a^tが０になるのでsintが何であっても y=0になるのか、lim(t→∞)a^t は０に限りなく近づくだけなので０でないから y=0になるのはt=nΠ なのか、どっちなのでしょう(僕は後だと思うんですけど…)？　また、人に説明するとき(証明？)、どうすればいいですか？

回答No.3

hitomura · ベストアンサー

＞t→－∞の場合もt=±nΠ(n=0,1,2,…)でいいんですね？
…はぁ？
t→－∞の場合とt=±nΠ(n=0,1,2,…)の場合とは別の話ですが…

＞　lim(t→∞)f(t)＝∞
＞というのは、
＞「tを限りなく大きくしていった場合、f(t)は限りなく大きくなる」
＞ということを略記しているだけです。
というのを勘違いされたかなぁ…

繰り返しになりますが、lim(t→∞)f(t)というのは「tを限りなく大きくしていった場合f(t)の値はどうなるか」を表す記号ですし、lim(t→-∞)f(t)というのは「tを限りなく小さくしていった場合f(t)の値はどうなるか」を表す記号です。
また、∞が論文の式の中に登場した場合は、「限りなく大ききなる」ということを略記しているだけです。

まず、質問文の記述から、|a|>1と推測します。このとき、
　lim(t→-∞)a^t=0
となります。しかしだからといって、
　a^(-∞)=0
と書いてはいけませんし、そもそも－∞という「数」はありません。

この問題の場合、y=(a^t)*sin　tはa^tの部分が絶対0にならないためsin　tが0となるt=±nΠ(n=0,1,2,…)の時のみy=0となります。

…っていかん、y=0を満たすtが実数全体となるパターンがありました。
それは、a=0のときです。
つまり、問題の答は正しくは、
　a≠0の時、t=±nΠ(n=0,1,2,…)、
　a＝0の時、tは任意の実数
でした。

余談になりますが、
　lim(t→-∞)y
の値は|a|>1またはa＝0の時に0になります。
　0<a<1の時はlim(t→-∞)y=∞となり、
　-1≦a＜0またはa=1の時はlim(t→-∞)yは定まりません。

お礼

すみませんでした、理解しました。
ありがとうございました。

回答No.2

sssohei

lim(t→∞)a^t sin(t) は０です。
sin は-1～1の範囲しか取りません。
ところが、j_takoyaking-manさんのおっしゃられるとおり、lim(t→∞)a^t → ０なので、０となるはずです。
「定数がかかっているのと同じ」ととって問題ないと思います。
厳密な話は忘れました^^;

＞t→－∞の場合もt=±nΠ(n=0,1,2,…)でいいんですね
「t=－∞」というのは普通の数学では扱わないので、t=±nΠ(n=0,1,2,…)となると思います。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

hitomura

＞t=－∞ のとき
と書かれていますが、∞という数はありません。
lim(t→∞)f(t)というのは「tを限りなく大きくしていった場合f(t)の値はどうなるか」を表す記号です。
　lim(t→∞)f(t)＝∞
というのは、「tを限りなく大きくしていった場合、f(t)は限りなく大きくなる」ということを略記しているだけです。
（-∞もその向きが負なだけで言ってることは変わりません）
したがって、t=－∞という「数」を考えるのはナンセンスです。

なお、この問題の答えは、
　t=±nπ(n=0,1,2,…)
となります。

お礼

ありがとうございます.
すみません、間違えました.t=-∞ではなくてt→－∞です.
t→－∞の場合もt=±nΠ(n=0,1,2,…)でいいんですね？