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量子力学の基礎的な質問
2つ質問させてください。 1.波動関数Ψを考えます。 普通|Ψ|^2=1となるように規格化すると、Ψの要素の一つをΨ_nとした場合、|Ψ_n|^2が確率としてでますよね。 もし、|Ψ|^4=1として規格化すると|Ψ_n|^4が確率になるんですか? 2.<Ψ(0)|Ф(t)>≠0の場合(カッコ内は時間)、この式の解釈としては「Ψ(0)の波動関数は時刻t秒後にФ(t)となる波動関数とその他なんらかの波動関数の重ね合わせである」 またはΨ(0)、Ф(t)に対する固有値をA,Bとすると「Aという固有値がt秒後にBという固有値に変化する可能性がある」ということでしょうか? 最近よくわからなくなってきてしまい質問しました。よろしくお願いします。
- jimihenn
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> 普通|Ψ|^2=1となるように規格化すると (1) ∫|Ψ|^2 dv =1 ですね.積分を忘れています. (1) ∫|Ψ|^4 dv =1 という規格化はあちこちぼろが出ると思います. 質問の意図は (2) Ψ = a Ψ(1) + b Ψ(2) のように波動関数を作ると(Ψ(1),Ψ(2),規格化直交波動関数,a,b は係数) (3) ∫|Ψ|^2 dv = |a|^2 + |b|^2 になるが, (4) ∫|Ψ|^4 dv = |a|^4 + |b|^4 となるか,ということでしょうか. 結論から言うと,そうはなりません. (3)に(2)を代入すると, (5) ∫ |Ψ(1)|^2 dv のタイプと (6) ∫ {Ψ(1)*} Ψ(2) dv のタイプの積分が出てきます. (5)は正規化で1,(6)は直交でゼロ. このために(3)になるのです. |Ψ|^4 ですと (7) ∫ {Ψ(1)*}^3 Ψ(2) dv の類の積分がいろいろ出てきて,それらはゼロにはなりません. したがって,(4)は成立しません. 後半です. Φがハミルトニアン(時間に陽に依存しない)の固有状態なら,時間発展は (8) Φ(t) = exp{(-2πi/h) Bt} です.B はΦのΦ状態のエネルギー. したがって,t=0 でΦとΨがちがうものなら, (9) <Ψ|Φ(t)> = 0 のままです. ΦとΨが同じものなら (10) <Ψ|Φ(t)> = exp{(-2πi/h) Bt} です. ハミルトニアンが陽に時間に依存しなければ,エネルギーは保存されます. 一方,ハミルトニアンが時間に陽に依存すれば,エネルギーは保存されません. ここらへんは,解析力学の対称性と保存量に関するネーターの定理のあたりの 話と同じです.
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- Mell-Lily
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規格化とは、波動関数Ψの”トータル”の確率を1にすることです。これは、単なる調整のための数学的な操作に過ぎません。また、実際の確率は、波動関数の絶対値の2乗に比例するのであって、4乗には比例しません。 ブラケット<a|b>は、状態bが状態aに終わる確率振幅を表します。ブラケットは、通常、右から左に読みます。よって、<Ψ(0)|Ф(t)>≠0の意味は、Ψ(x)やФ(x)が時刻xの関数ならば、時刻tにおけるΦが、時刻0のΨに終わる確率振幅が0でない、つまり、この事象の起こる可能性はゼロではないということです。
お礼
どうもありがとうございました。 1の方は勘違いしてました。 2はわかりやすくためになりました。
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