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量子力学の基礎的な質問

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  • 質問No.206599
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お礼率 47% (147/308)

2つ質問させてください。

1.波動関数Ψを考えます。 普通|Ψ|^2=1となるように規格化すると、Ψの要素の一つをΨ_nとした場合、|Ψ_n|^2が確率としてでますよね。
もし、|Ψ|^4=1として規格化すると|Ψ_n|^4が確率になるんですか?

2.<Ψ(0)|Ф(t)>≠0の場合(カッコ内は時間)、この式の解釈としては「Ψ(0)の波動関数は時刻t秒後にФ(t)となる波動関数とその他なんらかの波動関数の重ね合わせである」
またはΨ(0)、Ф(t)に対する固有値をA,Bとすると「Aという固有値がt秒後にBという固有値に変化する可能性がある」ということでしょうか?

最近よくわからなくなってきてしまい質問しました。よろしくお願いします。
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  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

> 普通|Ψ|^2=1となるように規格化すると

(1)  ∫|Ψ|^2 dv =1
ですね.積分を忘れています.

(1)  ∫|Ψ|^4 dv =1
という規格化はあちこちぼろが出ると思います.
質問の意図は
(2)  Ψ = a Ψ(1) + b Ψ(2)
のように波動関数を作ると(Ψ(1),Ψ(2),規格化直交波動関数,a,b は係数)
(3)  ∫|Ψ|^2 dv = |a|^2 + |b|^2
になるが,
(4)  ∫|Ψ|^4 dv = |a|^4 + |b|^4
となるか,ということでしょうか.
結論から言うと,そうはなりません.

(3)に(2)を代入すると,
(5)  ∫ |Ψ(1)|^2 dv
のタイプと
(6)  ∫ {Ψ(1)*} Ψ(2) dv
のタイプの積分が出てきます.
(5)は正規化で1,(6)は直交でゼロ.
このために(3)になるのです.
|Ψ|^4 ですと
(7)  ∫ {Ψ(1)*}^3 Ψ(2) dv
の類の積分がいろいろ出てきて,それらはゼロにはなりません.
したがって,(4)は成立しません.

後半です.
Φがハミルトニアン(時間に陽に依存しない)の固有状態なら,時間発展は
(8)  Φ(t) = exp{(-2πi/h) Bt}
です.B はΦのΦ状態のエネルギー.
したがって,t=0 でΦとΨがちがうものなら,
(9)  <Ψ|Φ(t)> = 0
のままです.
ΦとΨが同じものなら
(10)  <Ψ|Φ(t)> = exp{(-2πi/h) Bt}
です.
ハミルトニアンが陽に時間に依存しなければ,エネルギーは保存されます.

一方,ハミルトニアンが時間に陽に依存すれば,エネルギーは保存されません.
ここらへんは,解析力学の対称性と保存量に関するネーターの定理のあたりの
話と同じです.
お礼コメント
jimihenn

お礼率 47% (147/308)

詳しいご回答ありがとうございます。
1は僕の考えがたりなかったです。
2はわかりやすく頭の整理ができたと思います。
投稿日時 - 2002-02-03 15:48:31
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  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 27% (258/936)

規格化とは、波動関数Ψの”トータル”の確率を1にすることです。これは、単なる調整のための数学的な操作に過ぎません。また、実際の確率は、波動関数の絶対値の2乗に比例するのであって、4乗には比例しません。 ブラケット<a|b>は、状態bが状態aに終わる確率振幅を表します。ブラケットは、通常、右から左に読みます。よって、<Ψ(0)|Ф(t)>≠0の意味は、Ψ(x)やФ(x)が時刻xの関 ...続きを読む
規格化とは、波動関数Ψの”トータル”の確率を1にすることです。これは、単なる調整のための数学的な操作に過ぎません。また、実際の確率は、波動関数の絶対値の2乗に比例するのであって、4乗には比例しません。
ブラケット<a|b>は、状態bが状態aに終わる確率振幅を表します。ブラケットは、通常、右から左に読みます。よって、<Ψ(0)|Ф(t)>≠0の意味は、Ψ(x)やФ(x)が時刻xの関数ならば、時刻tにおけるΦが、時刻0のΨに終わる確率振幅が0でない、つまり、この事象の起こる可能性はゼロではないということです。
お礼コメント
jimihenn

お礼率 47% (147/308)

どうもありがとうございました。
1の方は勘違いしてました。
2はわかりやすくためになりました。
投稿日時 - 2002-02-03 15:41:53


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