伝達関数のボード線図について

質問

伝達関数が１/（s＾2＋ｓ＋１）で与えられているときのボード線図（ゲインと位相）の概形を教えてください。どこが折点周波数になって傾きがどれくらいとか
だいたいの形でいいんでお願いします。また、その理由もお願いします。

回答No.1

PASOKICHI3 · ベストアンサー

ここでボード線図は描けませんが、
解りやすく簡単にいいますと、一般的に、LP系は分子が常数（この常数は全ての帯域に係るゲインで、ここでは１）になり、
２次系であれば、1/(T^2S^2+(1/Q)TS+1)の形をなします。
ここで、実関数でみればSはjw(オメガ)で複素周波数を表し単位は[1/t]、Tは時定数で単位は[t]になります。また、Qは２次系
の場合のf0（すなわちS=1/T）のときのゲインを表しています。
出題の伝達関数では、T=1、Q=1となるわけです。
さて、foはS=1/Tの点ですが、Sをjwで置換えればわかるようにT^2S^2の項は-1となるとして、分母はT^2S^2+1が0になるので
伝達関数のゲインは、1/(1/Q)T)1/T)でQになります。
実際の値にあてはめれば、f=1（=fo）でゲイン１となるLPFの形になります。
なお、カットオフ周波数fcはあくまで-3dBの点の周波数ですから、このf0ではありません。も少し高いところになります。
また、２次のLPFはQが1/2^-1（ルート2分の1、約0.707=この時はf0=Fc）以上になると、それより低い周波数でかならずゲインが
１より大きくなります。このピークポイントとそのゲインおよびfcについては、s=jwと置換えて計算します。これはやって
みてください。
このように、TSを使うと計算も楽ですし、簡単にゲインが推測できて大変便利です。
なお、傾斜は12dB/octですが、これはSが無限大のときです。
従って、簡単には、s=0からs=1/Tのところまで（左から右に）直線を引き、s=1/Tの点から12dB/octで落ちる右下がりの直線
を引くと、これが漸近線になります。問題のような場合は（Q>0.707...）、実際のカーブはこの漸近線の常に上側になります。

ちなみに伝達関数が、TSならS=1/Tを通って0～∞に向う-6dB/oct、T^2S^2なら同じく-12db/oct、T^3S^3なら同じく-18db/oct
になり、TS+1ならS=0からS=1/Tはフラット（ゲイン1）で、そこから6dB/octで上り、T^2S^2+1なら12dB/octで上るカーブに
なります。
反対にこれらが、分母にある場合は、1/TSなら、S=1/Tを通って-6dB/octで0に至るカーブになります。
また、次数が１次の場合はS=1/Tのときfc=f0になります。
もし、TS/(TS+1)なら、S>=1/Tのところでは6db/octと-6db/octのカーブの合成（掛算＝dBでは足し算）ですからフラットになり、
s<1/Tのところは6dB/octで上昇する、HPFになり、カットオフ周波数はfc=1/Tで、このときの位相は45°になります。

伝達関数の和の形の場合はどう類推できるでしょう。そうです、上のTS+1で見てみると解るように、常に”ゲインの大きい（上）
ところを残して漸近線を引けばいいのです。

以上ですが、これだけ知ってれば大体のカーブが描けると思います。細かなところは実際にjwに置換えて計算します。
いろいろやってみるといいと思います。

お礼

ありがとうございました。よくわかりました。