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伝達関数のボード線図について

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  • 質問No.204211
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お礼率 89% (17/19)

伝達関数が1/(s^2+s+1)で与えられているときのボード線図(ゲインと位相)の概形を教えてください。どこが折点周波数になって傾きがどれくらいとか
だいたいの形でいいんでお願いします。また、その理由もお願いします。
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レベル9

ベストアンサー率 41% (32/77)

ここでボード線図は描けませんが、
解りやすく簡単にいいますと、一般的に、LP系は分子が常数(この常数は全ての帯域に係るゲインで、ここでは1)になり、
2次系であれば、1/(T^2S^2+(1/Q)TS+1)の形をなします。
ここで、実関数でみればSはjw(オメガ)で複素周波数を表し単位は[1/t]、Tは時定数で単位は[t]になります。また、Qは2次系
の場合のf0(すなわちS=1/T)のときのゲインを表しています。
出題の伝達関数では、T=1、Q=1となるわけです。
さて、foはS=1/Tの点ですが、Sをjwで置換えればわかるようにT^2S^2の項は-1となるとして、分母はT^2S^2+1が0になるので
伝達関数のゲインは、1/(1/Q)T)1/T)でQになります。
実際の値にあてはめれば、f=1(=fo)でゲイン1となるLPFの形になります。
なお、カットオフ周波数fcはあくまで-3dBの点の周波数ですから、このf0ではありません。も少し高いところになります。
また、2次のLPFはQが1/2^-1(ルート2分の1、約0.707=この時はf0=Fc)以上になると、それより低い周波数でかならずゲインが
1より大きくなります。このピークポイントとそのゲインおよびfcについては、s=jwと置換えて計算します。これはやって
みてください。
このように、TSを使うと計算も楽ですし、簡単にゲインが推測できて大変便利です。
なお、傾斜は12dB/octですが、これはSが無限大のときです。
従って、簡単には、s=0からs=1/Tのところまで(左から右に)直線を引き、s=1/Tの点から12dB/octで落ちる右下がりの直線
を引くと、これが漸近線になります。問題のような場合は(Q>0.707...)、実際のカーブはこの漸近線の常に上側になります。

ちなみに伝達関数が、TSならS=1/Tを通って0~∞に向う-6dB/oct、T^2S^2なら同じく-12db/oct、T^3S^3なら同じく-18db/oct
になり、TS+1ならS=0からS=1/Tはフラット(ゲイン1)で、そこから6dB/octで上り、T^2S^2+1なら12dB/octで上るカーブに
なります。
反対にこれらが、分母にある場合は、1/TSなら、S=1/Tを通って-6dB/octで0に至るカーブになります。
また、次数が1次の場合はS=1/Tのときfc=f0になります。
もし、TS/(TS+1)なら、S>=1/Tのところでは6db/octと-6db/octのカーブの合成(掛算=dBでは足し算)ですからフラットになり、
s<1/Tのところは6dB/octで上昇する、HPFになり、カットオフ周波数はfc=1/Tで、このときの位相は45°になります。

伝達関数の和の形の場合はどう類推できるでしょう。そうです、上のTS+1で見てみると解るように、常に”ゲインの大きい(上)
ところを残して漸近線を引けばいいのです。

以上ですが、これだけ知ってれば大体のカーブが描けると思います。細かなところは実際にjwに置換えて計算します。
いろいろやってみるといいと思います。
お礼コメント
makinobu

お礼率 89% (17/19)

ありがとうございました。よくわかりました。
投稿日時 - 2002-01-25 23:27:37
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