フーリエ変換とは？

質問

• フーリエ変換についての基本的な説明です。
• フーリエ変換可能な関数の表現方法についての疑問です。
• フーリエ変換の振幅と位相についての疑問です。

回答No.3

nuubou

｛A(ω)・cos(ω・t + θ(ω))|ω∈R}の要素全てを重ねていったらf(t)の波形ができてくるということでいいんでしょうか？

ｆ（ｔ）＝∫ｄω・Ａ（ω）・ｃｏｓ（ω・ｔ＋θ（ω））はそのことをまさに式で表しているとは思いませんか？

f(t) = ∫[-∞ to ∞] F(ω)・exp(iωt)dω/(2π) の右辺の虚部を0とおけば、提示の式を導けるんですね？

Ｆ（ω）＝∫ｄｔ・ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｉ・ω・ｔ）とし
ｆ（ｔ）＝∫ｄω・Ｆ（ω）・ｅｘｐ（ｉ・ω・ｔ）／（２・π）とし
Ａ（ω）＝｜Ｆ（ω）｜／（２・π）とし
θ（ω）＝ａｒｇ（Ｆ（ω））とし
Ｒ（ω）＝∫ｄτ・ｆ（τ）・ｃｏｓ（ω・τ）とし
Ｉ（ω）＝∫ｄτ・ｆ（τ）・ｓｉｎ（ω・τ）とすれば
Ｆ（ω）＝Ｒ（ω）－ｉ・Ｉ（ω）であり、
｜Ｆ（ω）｜＝（Ｒ（ω）＾２＋Ｉ（ω）＾２）＾０．５である
よって
（２・π）・ｆ（ｔ）＝∫ｄω・（Ｒ（ω）－ｉ・Ｉ（ω））・（ｃｏｓ（ω・ｔ）＋ｉ・ｓｉｎ（ω・ｔ））
上式の実部をＸとし虚部をＹとすると
Ｘ＝∫ｄω・（Ｒ（ω）・ｃｏｓ（ω・ｔ）＋Ｉ（ω）・ｓｉｎ（ω・ｔ））・・・（＊）
Ｙ＝∫ｄω・（Ｒ（ω）・ｓｉｎ（ω・ｔ）－Ｉ（ω）・ｃｏｓ（ω・ｔ））
＝∫ｄτ・ｆ（τ）・∫ｄω・ｓｉｎ（ω・（ｔ－τ））＝０
というのは
ｌｉｍ（Ｗ→０）∫（｜ω｜≦Ｗ）ｄω・ｓｉｎ（ω・（ｔ－τ））＝０
というのは積分の中身は奇関数なので積分値が常に０になるから
（左辺が実数だから通常は虚部＝０は当たり前と見なしますが）
だから虚部は０にするではなく０になるのです
従って
ｆ（ｔ）＝Ｘ／（２・π）＝∫ｄω・Ａ（ω）・ｃｏｓ（ω・ｔ＋θ（ω））
（＊）式から上式への変形はできるでしょうね？

何でこの式かいてないんだろ？

ｅｘｐを用いた方式の方が便利だからです
実際に科学技術の分野ではｅｘｐの方ばかり使ってます
ややこしい三角関数の公式を使わないで済み簡単な指数の性質だけを使えばいいのだから
フーリエ級数にもｅｘｐを使う手法が有るでしょう
そっちの方が技術者科学者数学者には便利なのですよ

この式の意味のうまい説明の仕方はないでしょうか？

フーリエ級数は周期が有るでしょう
その周期を大きくしていくとフーリエ級数が逆フーリエ変換になるのですよ
だから実は同じものです
角周波数ω～（ω＋ｄω）に振幅Ａ（ω）・ｄω位相θ（ω）の余弦波が存在するではどうでしょうか？
Σ（｜ω｜＜∞）・Ａ（ω）・ｄω・ｃｏｓ（ω・ｔ＋θ（ω））と見なすことができるから

ところであなたは大学生ですか？
質問内容から説明のレベルを判断できない場合には学部学科学年が提示されていれば説明のレベルをあわせやすいので載せていた方がいいですよ

補足

>振幅Ａ（ω）・ｄω

つまり、位相が同じとは限らない振幅無限小の波(余弦波)
をたーくさん(無限に)重ね重ね合わせていくと、
元の波形を復元できる、というイメージは正しいですか？
どうも、周期的な余弦波が重なり重なっていって、例えば、
f(t) = 1 (|t|<1) , 0 (|t|>1)
なんていう波形ができてくるのが納得いかなかったんです。
フーリエ級数が周期波形を復元するというのなら納得いきますけど…
位相が同じとは限らない、ということがミソなんでしょうか。

上に書いた、
>つまり、位相が同じとは限らない振幅無限小の波(余弦波)
>をたーくさん(無限に)重ね重ね合わせていくと、
>元の波形を復元できる、というイメージは正しいですか？
の部分、とりあえず
自分では正しいと思いますけど、自分が正しいと思うからって、
ホントにそれがいつも正しいとは限りませんので、
そういうときにもぼくは質問します。
すいません。ぼかぁ、近所でも物分り悪くて有名ですので。
よろしくおねがいします。
もちろん、イヤだったら結構ですけど…