解析の問題だと思うのですが。

質問

（１）ｐ，ｑが自然数の時、B（ｐ、ｑ）を求めよ。但し、

　　　　　B（ｐ、ｑ）＝∫{０～１} ｔ＾（ｐ－１）＊（１－ｔ）＾ｑ－１ｄｔ
　　　である。
（２）次の等式を示せ。
　　　　　　　　　　B（ｐ、ｑ）＝Γ（ｐ）＊Γ（ｑ）／　Γ（ｐ＋ｑ）
回答の糸口すら見つかりません。どなたかお願いします。

回答No.6

KaitoTVGAMEKOZOU

まだ閉じないところをみると、何か期待しているんですね。
２でsssoheiさんが部分積分の公式を丁寧に書かれていますが、これは見た目に美しくありませんよね。数学の公式は美しいものだけ覚えなくてはいけません。
部分積分の公式はだめですが、全体積分のテクニックは覚えておいてください。

たとえば、
∫ｘ^2sinｘｄｘ　　　を求めろといわれたら、

ｘ^2cosｘを微分すれば出てくる。
（ｘ^2cosｘ）’＝２ｘcosｘ－ｘ^2sinｘ　　　　　　　（１）

まだ２ｘcosｘが残っている。これはｘsinｘを微分してやれば出てくる。
（ｘsinｘ）’＝sinｘ＋ｘcosｘ　　　　　　　　　　　（２）

まだ、sinｘが残っている。これは、cosｘを微分してやればでてくる。
（cosｘ）’＝－sinｘ　　　　　　　　　　　　　　　　（３）　　　　　　　　　
よって、２×｛（２）＋（３）｝－（１）より、
２（cosｘ）’＋２（ｘsinｘ）’－（ｘ^2cosｘ）’＝ｘ^2sinｘ

である。あとは、両辺に∫ｄｘをつけてやれば、
∫ｘ^2sinｘｄｘ　＝２cosｘ＋２ｘsinｘ－ｘ^2cosｘ＋Ｃ　　（Ｃは積分定数）

はい出来上がり。やってることは微分の計算と連立方程式だけである。つまり、部分積分の公式はそれだけのことをわざわざもっともらしく書いてあるだけなのである。覚えるに値しないことがわかるでしょう。しかも計算が厄介である。

私の示した解法は積分を求めるにあたって、何を微分したら∫（～）ｄｘ　の中身の（～）が出てくるかを追求しただけです。そして、この考え方は重要で、微分積分は、概念は積分で、計算は微分で行なうから簡単になるということにつながる。わたしの解法は最後に積分記号をつけただけです。根幹は微分と連立方程式。しかもシンプルで美しい。そしてなにより、解法が楽だということです。
ためしに、
∫ｅ^ｘsinｘｄｘ　　と　　∫ｅ^xcosxｄｘ
を考えてみてください。これを部分積分でやると大変だと思いますよ。