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信号解析の『確率』の問題

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  • 質問No.198028
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お礼率 77% (161/207)

次の問題が全くわかりません。できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。
 次式をそれぞれフーリエ変換し、正確にフーリエスペクトルを描け。

 x(t)=Ae^(-at) (t>=0) , x(t)=0 (t<0)・・・・・・・・・(1)

 x(t)=Ae^(-at)cosbt (t>=0) , x(t)=0 (t<0)・・・・・・(2)

 x(t)=A (c>=t>=0) , x(t)=0 (c<t<0)・・・・・・・・・・(3)
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.4
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

また間違っていた

X(f)=∫dt・x(t)・e^(-i・2・π・f)とすると

(1):
0<aならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(a+i・2・π・f)
a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A・(1/(i・2・π・f)+δ(f)/2)
a<0ならばフーリエ変換不能
(2):
0<aならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/2・(1/(a+i・b+i・2・π・f)+1/(a-i・b+i・2・π・f))
a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(2・i)・(1/(2・π・f+b)+1/(2・π・f-b))
+A/4・(δ(f-b/(2・π))+δ(f+b/(2・π)))
a<0ならばフーリエ変換不能

(3)x(t)=A (0≦t≦c),x(t)=0 (tが他)の場合:
両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(i・2・π・f)・(1-e^(-i・2・π・f・c))

まだ計算違いしているかも
お礼コメント
trance79

お礼率 77% (161/207)

何度も投稿していただきありがとうございました。nuubouさんの解答を参考に自分なりの答えを導き出す事ができました。これからも御縁があれば、投稿よろしくお願いします。
投稿日時 - 2002-01-15 22:44:01
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その他の回答 (全5件)

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

X(f)=∫dt・x(t)・e^(-i・2・π・f)とすると (1): 0<aならば両辺をフーリエ変換すれば X(f)=A/(a+i・2・π・f) a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば X(f)=A・δ(f) a<0ならばフーリエ変換不能 (2): 0<aならば両辺をフーリエ変換すれば X(f)=A/2・(1/(a+i・b+i・2・π・f)+1/(a-i・b+i・2・π・f)) a ...続きを読む
X(f)=∫dt・x(t)・e^(-i・2・π・f)とすると

(1):
0<aならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(a+i・2・π・f)
a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A・δ(f)
a<0ならばフーリエ変換不能
(2):
0<aならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/2・(1/(a+i・b+i・2・π・f)+1/(a-i・b+i・2・π・f))
a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/2・(δ(f-b/(2・π))+δ(f+b/(2・π)))
a<0ならばフーリエ変換不能

(3)はx(t)=A (0≦t≦c),x(t)=0 (c<t<0)
ということはc<0で0≦cですか?
そういうcは存在しないのでは?

よく間違えるので計算違いしているかも


  • 回答No.2
レベル12

ベストアンサー率 43% (186/425)

フーリエ変換 \int(from -∞ to ∞) dt x(t)*exp(iωt) でしょう。 (1) \int(from 0 to ∞) dt x(t)*exp(iωt)= \int(from 0 to ∞) dt Aexp(-at+iωt)= A(a+iω)/(a^2+ω^2) (2) \int(from 0 to ∞) dt x(t)*exp(iωt)= \int(fro ...続きを読む
フーリエ変換
\int(from -∞ to ∞) dt x(t)*exp(iωt)
でしょう。

(1)
\int(from 0 to ∞) dt x(t)*exp(iωt)=
\int(from 0 to ∞) dt Aexp(-at+iωt)=
A(a+iω)/(a^2+ω^2)

(2)
\int(from 0 to ∞) dt x(t)*exp(iωt)=
\int(from 0 to ∞) dt A*exp(-at)*((exp(ibt)+exp(-ibt))/2)*exp(iωt)
=1/2*A(a+i(ω+b))/(a^2+(ω+b)^2)+1/2*A(a+i(ω-b))/(a^2+(ω-b)^2)

(3)
\int(from 0 to c) dt x(t)*exp(iωt)=
\int(from 0 to c) dt A*exp(iωt)=
A/ω*(1-exp(iωc))i=
A(sin(ωc)-i(cos(ωc)-1))/ω

計算に自信なし。
スペクトルは、横軸にωをとってかく。
実部と虚部と分けてかく。
スペクトル強度なら、絶対値の2乗をとって実数にする。
お礼コメント
trance79

お礼率 77% (161/207)

投稿ありがとうございました。ホントに助かりました。スペクトルに関しても絶対値をとって、ωについての関数|X(ω)|に関して増減表を書き、図示する事ができました。
投稿日時 - 2002-01-15 22:40:01
  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

やっぱり間違っていた X(f)=∫dt・x(t)・e^(-i・2・π・f)とすると (1): 0<aならば両辺をフーリエ変換すれば X(f)=A/(a+i・2・π・f) a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば X(f)=A・(1/(i・2・π・f)+δ(f)/2) a<0ならばフーリエ変換不能 (2): 0<aならば両辺をフーリエ変換すれば X(f)=A/2・( ...続きを読む
やっぱり間違っていた

X(f)=∫dt・x(t)・e^(-i・2・π・f)とすると

(1):
0<aならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(a+i・2・π・f)
a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A・(1/(i・2・π・f)+δ(f)/2)
a<0ならばフーリエ変換不能
(2):
0<aならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/2・(1/(a+i・b+i・2・π・f)+1/(a-i・b+i・2・π・f))
a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(2・i)・(1/(2・π・f+b)+1/(2・π・f-b))
+A/4・(δ(f-b/(2・π))+δ(f+b/(2・π)))
a<0ならばフーリエ変換不能

(3)x(t)=A (0≦t≦c),x(t)=0 (tが他)の場合:
両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(i・2・π・f)・(1-e^(i・2・π・f・c))

まだ計算違いしているかも
  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

a=0のときδ関数の項がいる理由は私の質問に答えられた回答者:stomachman先生の回答が参考になると思います 以下にその質問のリンクを載せます 特に最初の回答が参考になると思います ...続きを読む
a=0のときδ関数の項がいる理由は私の質問に答えられた回答者:stomachman先生の回答が参考になると思います
以下にその質問のリンクを載せます
特に最初の回答が参考になると思います
お礼コメント
trance79

お礼率 77% (161/207)

わざわざ参考になる質問のリンクを教えていただきありがとうございました。ホントかなり参考になりましたよ~。
投稿日時 - 2002-01-15 22:48:37
  • 回答No.6
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

呼ばれたような気がしたstomachmanです。 (3)の式は書き間違いとして、いずれもt<0でx(t)=0となるようですね。だったら、ラプラス変換を使った方が簡単です。 ...続きを読む
呼ばれたような気がしたstomachmanです。
(3)の式は書き間違いとして、いずれもt<0でx(t)=0となるようですね。だったら、ラプラス変換を使った方が簡単です。
お礼コメント
trance79

お礼率 77% (161/207)

え~っ、ラプラス変換を使うとは・・・。
実は投稿した問題はレポートの問題だったのですが、もう提出してしまいました。締め切りが近かったもので・・・。
でも、これからの勉強に何らかの役に立つかもしれないのでラプラス変換を用いてもう一度やってみようと思います。
また何か御縁があったら、投稿よろしくお願いします。今回は投稿していただきホントにありがとうございました。
投稿日時 - 2002-01-15 23:03:44
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