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三角関数の「1/3倍角の公式」って作れませんか?

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お礼率 46% (46/99)

「半角の公式」は有りますよね。それの1/3版についてです。

「1/3倍角の公式って有りますか?」
と教師に質問したところ、「聞いたこと無い。」
と言われました。少し、調べましてみましたが、やはり見つかりませんでした。

存在するんでしょうか。

存在するのであれば、計算式が知りたいです。(サイトでも良いです。。)

存在しないというのであれば、
(a+bi)^(1/3) を A + Bi という形に変形する事から導き出せそうですが、
無理なのでしょうか。

高校生にも分かるように書いて頂けると嬉しいです。
(カルダノの解法は分かります。)
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

No.1チョンボです。
X=((c-√[c^2-1])^(1/3)+(c+√[c^2-1])^(1/3))/2
だけが実解じゃないですね。残りの2つの解も必要です。

X=((i√3-1)(c-√[c^2-1])^(1/3)-(i√3+1)(c+√[c^2-1])^(1/3))/4
X=((i√3-1)(c+√[c^2-1])^(1/3)-(i√3+1)(c-√[c^2-1])^(1/3))/4
お礼コメント
nyonta

お礼率 46% (46/99)

はい。有り難う御座います。
しかし、
解が3つとなると、sin(θ/3)の解はどれであるかを
どうやって判断すればいいのでしょうか。
(お礼が質問に成ってしまった。)
投稿日時 - 2002-01-12 22:00:27
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その他の回答 (全4件)

  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

(sinθ)^3 = (-sin3θ+3sinθ)/4 (cosθ)^3 = (cos3θ+3cosθ)/4 だから、x=3θと書けば (sin(x/3))^3 = (-sin(x)+3sin(x/3))/4 (cos(x/3))^3 = (cos(x)+3cos(x/3))/4 です。 sineの方は、X= sin(x/3), c=-sinxとおく。 同様にcosineの方も、X= c ...続きを読む
(sinθ)^3 = (-sin3θ+3sinθ)/4
(cosθ)^3 = (cos3θ+3cosθ)/4
だから、x=3θと書けば
(sin(x/3))^3 = (-sin(x)+3sin(x/3))/4
(cos(x/3))^3 = (cos(x)+3cos(x/3))/4
です。

sineの方は、X= sin(x/3), c=-sinxとおく。
同様にcosineの方も、X= cos(x/3), c=cos(x)とおく。するとどちらも同じ方程式
4X^3-3X-c = 0
で表せます。この三次方程式は
X=((c-√[c^2-1])^(1/3)+(c+√[c^2-1])^(1/3))/2
という実解および二つの複素数解を持ちます。
これが(1/3)倍角公式ってことです。

  • 回答No.3
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

stomachman さん,ちょっと手がすべったようです. 実係数三次方程式 (1)  t^3 +3pt +q = 0 の判別式 D は (2)  D = -(q^2 + 4p^3) で, D>0 なら相異なる3実根, D=0 なら重根があり全部実根, D<0 なら1実根と2虚根 です. (3)  4X^3-3X-c = 0 と比べると,p=-1/4,q=-c/4 ...続きを読む
stomachman さん,ちょっと手がすべったようです.

実係数三次方程式
(1)  t^3 +3pt +q = 0
の判別式 D は
(2)  D = -(q^2 + 4p^3)
で,
D>0 なら相異なる3実根,
D=0 なら重根があり全部実根,
D<0 なら1実根と2虚根
です.
(3)  4X^3-3X-c = 0
と比べると,p=-1/4,q=-c/4 ですから
(4)  D = (1/16)(1-c^2)≧0
となり,重根も含めることにして3実根があります.

これは三角関数の周期性と関係があります.
例えば,sinθ=1 としたとき,θは
(a)  θ(1)=π/2,(π/2)±6π,(π/2)±12π,(π/2)±18π,......
(b)  θ(2)=(π/2) + 2π,(π/2)+ 2π±6π,(π/2)+ 2π±12π,...
(c)  θ(3)=(π/2) + 4π,(π/2)+ 4π±6π,(π/2)+ 4π±12π,...
の可能性があります.
つまり
(a)  θ(1)/3=π/6,(π/6)±2π,(π/2)±4π,(π/2)±6π,......
(b)  θ(2)/3=(5/6)π,(5/6)π±2π,(5/6)π±4π,.....
(c)  θ(3)/3=(3/2)π,(3/2)π±2π,(3/2)π±4π,.....
で,
sinθ(1) = 1/2
sinθ(2) = 1/2
sinθ(3) = -1
になります.
sinθ(1)=sinθ(2) になっているのは sinθ=1,すなわち c=1 としたので,
判別式が D=0 になっていることと符合します.

このような話を逆に使って,3次方程式(3)の3実根を三角関数で表す方法も知られています.

似たような話は半角公式でもあるわけで,
例えば
sin(θ/2) = ±√{(1-cosθ)/2}
で,複号はθがどの象限にあるかによって適切に選ばないといけません.
今の場合はこの事情が多少複雑になったのです.

今アップしようとしたら stomachman さんご自身の訂正が出ていました.
書いちゃったので,そのままアップします.
お礼コメント
nyonta

お礼率 46% (46/99)

丁寧に有り難う御座います。
しかし、
stomachman にも聞きましたが、符号・・・というか3つのうちどの解を選べばよいのでしょうか?
投稿日時 - 2002-01-12 22:04:43
  • 回答No.4
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

さて、ご質問の主旨からはいささか外れそうだけれど、どうも中途半端ですのでご参考までに。 ●高校では習わないかも知れないけれど重要な公式に exp(iθ) = cosθ + i sinθ (オイラーの公式) というのがあります。(exp(x)とはe^xのことです。) これを使うといとも簡単です。 exp(-iθ) = cos(-θ) + i sin(-θ)= cos(θ) - i sin(θ) ...続きを読む
さて、ご質問の主旨からはいささか外れそうだけれど、どうも中途半端ですのでご参考までに。

●高校では習わないかも知れないけれど重要な公式に
exp(iθ) = cosθ + i sinθ (オイラーの公式)
というのがあります。(exp(x)とはe^xのことです。)
これを使うといとも簡単です。
exp(-iθ) = cos(-θ) + i sin(-θ)= cos(θ) - i sin(θ)
だから
cosθ = (exp(iθ)+exp(-iθ))/2
よって、
cos(aθ) = (exp(iaθ)+exp(-iaθ))/2
= ((exp(iθ))^a+(exp(-iθ))^a)/2
= ((cosθ + i sinθ)^a+(cos(θ) - i sin(θ))^a)/2
また、
i sinθ = (exp(iθ)-exp(-iθ))/2
よって
sin(aθ) = ((cosθ + i sinθ)^a-(cos(θ) - i sin(θ))^a)/(2i)
です。

●さてこの式が実際の計算の役に立つのかどうか、ということになりますと、
「複素数のa乗ってどうやって計算するんでしょう?」
という所が大問題ですね。これはaが小さい自然数nの場合やa=1/(2^n)の場合には
(cos(x)+i sin(x))(cos(x)-i sin(x))=1
が効いて計算できそうな式にまとまりますけど、一般にはそうは行かず、
(cosθ + i sinθ)^a = exp(iaθ) = cos(aθ) + i sin(aθ)
と変形して計算する。なんだ、これじゃ元の黙阿弥です。

という訳で、一般の「a倍角公式」ってのは実用性には欠けている。単にcos(aθ), sin(aθ)をcosθ,sinθを使って表した、という以上の意味を持っていないから、「公式」とは呼ばないのでしょう。
お礼コメント
nyonta

お礼率 46% (46/99)

ありがとうございます。
>という訳で、一般の「a倍角公式」ってのは実用性には欠けている。
>単にcos(aθ), sin(aθ)をcosθ,sinθを使って表した、という以上の意味を持っ
>ていないから、「公式」とは呼ばないのでしょう。
はい。僕もそう思います。オイラーの公式も知っています。
ただ、「1/3倍角公式」は根号で表せる(という事が分かった)ので、例えば、sin5度の値がルートを使った式で表せるという事で、そういう意味で数学的に価値があるのではないでしょうか。
何はともあれ、
たびたび、有り難う御座います。
投稿日時 - 2002-01-12 22:14:21
  • 回答No.5
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

siegmund です. > 解が3つとなると、sin(θ/3)の解はどれであるかを > どうやって判断すればいいのでしょうか。 θに関する他の情報があれば,それとつじつまが合うように選ぶほかありません. 情報がなければ,判断はできません. x^2 = 1 のとき,x = +1,-1,のどちらか判断するのと同じようなことです. 前の話の繰り返しみたいなことになります ...続きを読む
siegmund です.

> 解が3つとなると、sin(θ/3)の解はどれであるかを
> どうやって判断すればいいのでしょうか。

θに関する他の情報があれば,それとつじつまが合うように選ぶほかありません.
情報がなければ,判断はできません.
x^2 = 1 のとき,x = +1,-1,のどちらか判断するのと同じようなことです.

前の話の繰り返しみたいなことになりますが,
例えば,θ= 3φ としましょう.
φ(1) = π/12 すると,θ(1) = π/4
φ(2) = φ(1) + (2/3)π = (3/4)π とすると θ(2) = (π/4) + 2π
φ(3) = φ(1) + (4/3)π = (17/12)π とすると θ(3) = (π/4) + 4π

明らかに,
sinθ(1) = sinθ(2) = sinθ(3) です.
つまり,基本周期の 0≦φ≦2π の間の (2/3)πずつずれた3つのφの値に対して
sin(3φ) は同じ値になってしまうわけです.

前にも書きましたが,半角公式でも
sin(θ/2) = ±√{(1-cosθ)/2}
で,同じような事情(頭の複号)がありますので,ご注意下さい.
お礼コメント
nyonta

お礼率 46% (46/99)

遅くなりました。
はい。僕の何でもない勘違いでした。
二次方程式の場合は正か負のどちらかで、判別は簡単だけど、
三次方程式の場合、ややこしいかな?と思ったんですが、
なんでもありません。

本当にありがとう御座いました。
投稿日時 - 2002-02-02 15:14:56
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