三角関数の「１／３倍角の公式」って作れませんか？

質問

「半角の公式」は有りますよね。それの１／３版についてです。

「１／３倍角の公式って有りますか？」
と教師に質問したところ、「聞いたこと無い。」
と言われました。少し、調べましてみましたが、やはり見つかりませんでした。

存在するんでしょうか。

存在するのであれば、計算式が知りたいです。（サイトでも良いです。。）

存在しないというのであれば、
(a+bi)^(1/3) を A + Bi　という形に変形する事から導き出せそうですが、
無理なのでしょうか。

高校生にも分かるように書いて頂けると嬉しいです。
（カルダノの解法は分かります。）

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

No.1チョンボです。
X=((c-√[c^2-1])^(1/3)+(c+√[c^2-1])^(1/3))/2
だけが実解じゃないですね。残りの２つの解も必要です。

X=((i√3-1)(c-√[c^2-1])^(1/3)-(i√3+1)(c+√[c^2-1])^(1/3))/4
X=((i√3-1)(c+√[c^2-1])^(1/3)-(i√3+1)(c-√[c^2-1])^(1/3))/4

お礼

はい。有り難う御座います。
しかし、
解が３つとなると、sin(θ/3)の解はどれであるかを
どうやって判断すればいいのでしょうか。
（お礼が質問に成ってしまった。）

回答No.5

siegmund

siegmund です．

> 解が３つとなると、sin(θ/3)の解はどれであるかを
> どうやって判断すればいいのでしょうか。

θに関する他の情報があれば，それとつじつまが合うように選ぶほかありません．
情報がなければ，判断はできません．
x^2 = 1 のとき，x = ＋1，－1，のどちらか判断するのと同じようなことです．

前の話の繰り返しみたいなことになりますが，
例えば，θ= 3φ としましょう．
φ(1) = π/12 すると，θ(1) = π/4
φ(2) = φ(1) + (2/3)π = (3/4)π とすると θ(2) = (π/4) + 2π
φ(3) = φ(1) + (4/3)π = (17/12)π とすると θ(3) = (π/4) + 4π

明らかに，
sinθ(1) = sinθ(2) = sinθ(3) です．
つまり，基本周期の 0≦φ≦2π の間の (2/3)πずつずれた３つのφの値に対して
sin(3φ) は同じ値になってしまうわけです．

前にも書きましたが，半角公式でも
sin(θ/2) = ±√{(1-cosθ)/2}
で，同じような事情(頭の複号)がありますので，ご注意下さい．

お礼

遅くなりました。
はい。僕の何でもない勘違いでした。
二次方程式の場合は正か負のどちらかで、判別は簡単だけど、
三次方程式の場合、ややこしいかな？と思ったんですが、
なんでもありません。

本当にありがとう御座いました。

回答No.4

stomachman

さて、ご質問の主旨からはいささか外れそうだけれど、どうも中途半端ですのでご参考までに。

●高校では習わないかも知れないけれど重要な公式に
exp(iθ) = cosθ + i sinθ　（オイラーの公式）
というのがあります。（exp(x)とはe^xのことです。）
これを使うといとも簡単です。
exp(-iθ) = cos(-θ) + i sin(-θ)= cos(θ) - i sin(θ)
だから
cosθ = (exp(iθ)+exp(-iθ))/2
よって、
cos(aθ) = (exp(iaθ)+exp(-iaθ))/2
= ((exp(iθ))^a+(exp(-iθ))^a)/2
= ((cosθ + i sinθ)^a+(cos(θ) - i sin(θ))^a)/2
また、
i sinθ = (exp(iθ)-exp(-iθ))/2
よって
sin(aθ) = ((cosθ + i sinθ)^a-(cos(θ) - i sin(θ))^a)/(2i)
です。

●さてこの式が実際の計算の役に立つのかどうか、ということになりますと、
「複素数のa乗ってどうやって計算するんでしょう？」
という所が大問題ですね。これはaが小さい自然数nの場合やa=1/(2^n)の場合には
(cos(x)+i sin(x))(cos(x)-i sin(x))=1
が効いて計算できそうな式にまとまりますけど、一般にはそうは行かず、
(cosθ + i sinθ)^a = exp(iaθ) = cos(aθ) + i sin(aθ)
と変形して計算する。なんだ、これじゃ元の黙阿弥です。

という訳で、一般の「a倍角公式」ってのは実用性には欠けている。単にcos(aθ), sin(aθ)をcosθ,sinθを使って表した、という以上の意味を持っていないから、「公式」とは呼ばないのでしょう。

お礼

ありがとうございます。
＞という訳で、一般の「a倍角公式」ってのは実用性には欠けている。
＞単にcos(aθ), sin(aθ)をcosθ,sinθを使って表した、という以上の意味を持っ
＞ていないから、「公式」とは呼ばないのでしょう。
はい。僕もそう思います。オイラーの公式も知っています。
ただ、「1/3倍角公式」は根号で表せる（という事が分かった）ので、例えば、sin5度の値がルートを使った式で表せるという事で、そういう意味で数学的に価値があるのではないでしょうか。
何はともあれ、
たびたび、有り難う御座います。

回答No.3

siegmund

stomachman さん，ちょっと手がすべったようです．

実係数三次方程式
(1)　　t^3 +3pt +q = 0
の判別式 D は
(2)　　D = -(q^2 + 4p^3)
で，
D>0 なら相異なる３実根，
D=0 なら重根があり全部実根，
D<0 なら１実根と２虚根
です．
(3)　　4X^3-3X-c = 0
と比べると，p=-1/4，q=-c/4 ですから
(4)　　D = (1/16)(1-c^2)≧0
となり，重根も含めることにして３実根があります．

これは三角関数の周期性と関係があります．
例えば，sinθ=1 としたとき，θは
(a)　　θ(1)=π/2，(π/2)±6π，(π/2)±12π，(π/2)±18π，．．．．．．
(b)　　θ(2)=(π/2) + 2π，(π/2)+ 2π±6π，(π/2)+ 2π±12π，．．．
(c)　　θ(3)=(π/2) + 4π，(π/2)+ 4π±6π，(π/2)+ 4π±12π，．．．
の可能性があります．
つまり
(a)　　θ(1)/3=π/6，(π/6)±2π，(π/2)±4π，(π/2)±6π，．．．．．．
(b)　　θ(2)/3=(5/6)π，(5/6)π±2π，(5/6)π±4π，．．．．．
(c)　　θ(3)/3=(3/2)π，(3/2)π±2π，(3/2)π±4π，．．．．．
で，
sinθ(1) = 1/2
sinθ(2) = 1/2
sinθ(3) = -1
になります．
sinθ(1)=sinθ(2) になっているのは sinθ=1，すなわち c=1 としたので，
判別式が D=0 になっていることと符合します．

このような話を逆に使って，３次方程式(3)の３実根を三角関数で表す方法も知られています．

似たような話は半角公式でもあるわけで，
例えば
sin(θ/2) = ±√{(1-cosθ)/2}
で，複号はθがどの象限にあるかによって適切に選ばないといけません．
今の場合はこの事情が多少複雑になったのです．

今アップしようとしたら stomachman さんご自身の訂正が出ていました．
書いちゃったので，そのままアップします．

お礼

丁寧に有り難う御座います。
しかし、
stomachman にも聞きましたが、符号・・・というか３つのうちどの解を選べばよいのでしょうか？

回答No.1

stomachman

(sinθ)^3 = (-sin3θ+3sinθ)/4
(cosθ)^3 = (cos3θ+3cosθ)/4
だから、x=3θと書けば
(sin(x/3))^3 = (-sin(x)+3sin(x/3))/4
(cos(x/3))^3 = (cos(x)+3cos(x/3))/4
です。

sineの方は、X= sin(x/3), c=-sinxとおく。
同様にcosineの方も、X= cos(x/3), c=cos(x)とおく。するとどちらも同じ方程式
4X^3-3X-c = 0
で表せます。この三次方程式は
X=((c-√[c^2-1])^(1/3)+(c+√[c^2-1])^(1/3))/2
という実解および二つの複素数解を持ちます。
これが(1/3)倍角公式ってことです。