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素数と有理数

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お礼率 38% (8/21)

相違なる素数p,qと、有理数a,b,c,dが
   
   a+b√p +c√q +d√pq = 0

をみたせば、a=b=c=d=0であることを示せ。 
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

c,d≠0とする。
a+b√p +c√q +d√pq = 0
a+b√p        = -√q(c+d√p)
√q=-(a+b√p)/(c+d√p)
  =-(a+b√p)(c-d√p)/(c^2-d^2p)
  =-{ac-bpd+√p(bc-ad)}/(c^2-d^2p)
  
(ac-bpd)/(c^2-d^2p)は有理数であり、当然0でなければおかしい。pとqは互いに素ゆえ、(bc-ad)/(c^2-d^2p)も0でなければおかしい。

よって、ac-bpd=0,bc-ad=0,
c,d≠0より、
a=bpd/c  ,a=bc/dよって、
bpd/c = bc/d
pd/c=c/d
p=(c/d)^2

pは素数のはずなのに、同じ有理数の積で表せるのはおかしい。つまり、仮定がまちがっていたのだ。
∴c=d=0

a+b√p =0→a=b=0  はいいね。教科書に載ってるよ。基本だよ。

∴a=b=c=d=0
以上!
お礼コメント
yonyon

お礼率 38% (8/21)

おお!ありがとうございます。
すごく良くわかりました。
本当にありがとうございました。
投稿日時 - 2002-01-12 18:36:23
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 37% (6/16)

あえて、計算で解いてみます。 (注意)「x^2」 は 「xの2乗」 の意 a+b√p +c√q +d√pq = 0 b√p +c√q = -(a +d√pq) (b√p +c√q)(a -d√pq) = -(a +d√pq)(a -d√pq) ab√p +ac√q -bdp√q -cdq√p = -a^2 + ( ...続きを読む
あえて、計算で解いてみます。
(注意)「x^2」 は 「xの2乗」 の意

a+b√p +c√q +d√pq = 0

b√p +c√q = -(a +d√pq)

(b√p +c√q)(a -d√pq) = -(a +d√pq)(a -d√pq)

ab√p +ac√q -bdp√q -cdq√p = -a^2 + (d^2)pq

(ab-cdq)√p +(ac-bdp)√q = -a^2 + (d^2)pq

p、qは相異なる素数であり、右辺は有理数であるから
(ab-cdq) = 0 ・・・(1)
且つ、
(ac-bdp) = 0 ・・・(2)
である。すると、右辺より、
a^2 = (d^2)pq ・・・(3)
である事が分かる。
(1)、(2)より
(b^2)p = (c^2)q
よって、
b = c = 0

さらに(3)より、
d = a = 0 でないならば、
d^2 は pq の奇数乗で無ければならない。
しかし、dは有理数なので、そのような d は存在しない。
よって、
a = d = 0

すなわち、a=b=c=d=0 でなければ(必要条件)
a+b√p +c√q +d√pq = 0 は成り立たない。
そして、確かに a=b=c=d=0 であれば、この式は成り立つ。(必要十分条件)

∴a+b√p +c√q +d√pq = 0
をみたせば、a=b=c=d=0である。

分かりにくくてごめんなさい。
お礼コメント
yonyon

お礼率 38% (8/21)

とてもよくわかりました!
本当にありがとうございました。
投稿日時 - 2002-01-12 18:37:09


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