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初歩的な質問ですが（対称について）
tを媒介変数とする曲線 x=sin(t) y=sin(2t) （リサージュ曲線） についてなんですけど、この媒介変数表示からx軸、y軸対称と言うのはどのように導けばいいのでしょうか？ 解答にはsin(t)の周期は2π t=θ、π-θ、π+θ、２π-θに対応する点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓとし、Ｐ(x,y)とするとQ(x,-y),R(-x,y),S(-x,-y)となる。 よって曲線はＸ軸、Ｙ軸、にたいして対称である となっていました。なぜこのような考え方で、対称がいえるのかがよくわかりません。お暇な時にでもよろしいので、ご返答してくれると嬉しいです。
- boaiko
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順次ステップを踏みましょう。 まず、 P の座標は (Px, Py) = (sin(θ), sin(2θ)) Q は、(Qx, Qy) = (sin(π - θ), sin(2(π - θ)) =(sin(θ), sin(2π - 2θ)) = (sin(θ), -sin(2θ)) = (Px, -Py) 以下、R は、(-Px, Py), S は、(-Px, -Py)。 これが第１段階。 これから言えることは、 P がこの曲線上にある＝Q, R, S もすべてこの曲線状にある。なぜなら、t = θに対して、それぞれ、π-θ、π+θ、２π-θ の時の点なのだから、「任意のPについて、Q,R,S は曲線状に存在する」 これが第２段階。 さて、P(x, y) に対して、Q(x, -y) は、「x 座標が同じで、y 座標の符号が逆」の点。すなわち、Y 軸に対して、対象な点。 同様にして、ＲはX軸に対して、Ｓは、X, Y 軸に対して対象な点。 これが、第３段階。 結論。 曲線上の任意の点に対して、必ず、X軸、Y軸に対して対象な点は、同じ曲線の上にある。 故に、この曲線はX軸、Y軸に対して対象である。 という流れですが。
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お礼
早速のご解答ありがとうございます。 順序だてて説明してくれていて本当にわかりやすかったです。 「P がこの曲線上にある＝Q, R, S もすべてこの曲線状にある」 というあたりまえのことですが、これをかんがえてなかったのでよくわからなくなったみたいです。本当にありがとうございました！！