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三角形の個数
stomachmanの回答
No.18のコメントに対するResです。 > (ナベゾコの数)-(三角形の一辺にならないナベゾコの数) ≧ N-2 > は、なぜ成り立つのでしょうか? > そのもうひとつが非三角ナベゾコでないという保証がないため > 上の不等式は成り立たないように思うのですが、どうでしょうか？ はい、飛ばしすぎでした。 「そのもうひとつが非三角ナベゾコでない」ことは勿論あって、それはまた別のナベゾコ（「そのもうひとつ」を非三角たらしめているナベゾコと同じ直線上にある）の存在を要求します。存在できる場所（交点との関係）の制約から、この連鎖がループに陥ることはなく、必ず三角ナベゾコで止まる。もの凄く「アタリマエ」の感じがしているのですが、いざ説明しようとしたら道具立てが大変だと気が付きましたっす。ヒマを見て言語化していく積もりですが、そのうちモエツキるkamone。 > Lemma(by sokamone) 仰る通りです。このとき、「そのもうひとつ」がどっさり必要になります。どっさりがまた互いに入れ子になろうとすると「そのまたもうひとつ」がまたどっさり必要で（初めの入れ子を作ってる奴らは「そのまたもうひとつ」にはなり得ない）、しかもその「またどっさり」が存在できる場所はどんどん狭くなっていく。結局三角ナベゾコの数を削ることはできない。（『分かり切ってる』のに、説明になんない。あ～もどかしいったら） > スキャナでスキャン これもまさしく仰るとおりです。「N+1本目の直線を動かす」というのは、Nに関する帰納法に持ち込むというアプローチに使えるように「直線を加えていく」という操作を表現する方法も手に入れたかったためでした。しかしNo.17で「飛び越え変換列の集合＝隣接要素の互換によるsort手順の集合」が分かったので、「N+1本目の直線」は重要ではなくなりました。だからretrospectiveに整理してみると「プローブ(No.17)」（仰るとおりスキャナ）と考えるのが一番すっきりしています。Morse関数と言うんですか。 帰納法の方向では、ある飛び越え変換列（これも専門用語があるんでしょうね）を同値でない飛び越え変換列に（図形を経由せずに）移す方法は容易に記述できたものの、一つの直線を「一番外側」にまで移す過程で三角形の数が増えたり減ったりして、「必ず増えない」を証明するのは難しそうでした。
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お礼
>存在できる場所（交点との関係）の制約から、 >この連鎖がループに陥ることはなく、必ず三角ナベゾコで止まる。 >もの凄く「アタリマエ」の感じがしているのですが、 >いざ説明しようとしたら道具立てが大変だと気が付きましたっす。 たしかにその部分がたいへんですね。三角ナベゾコと非三角ナベゾコの間の 関係をもっと探ってみないといけないと思っています。 あと、Ｎ個の数字のＮ(Ｎ-1)/２個の配列が、飛び越え変換列となる条件を もっと見つけないといけないと思っています。それは、No.15の問題3-1ですね。 個人的にはこの飛び越え変換列の考え方はとても扱いやすくて、気に入りました。 大いに利用させてもらいます。 stomachmanさんの負担がだいぶ大きくなってきていると思うので、 僕もできる限り、わかったことをレスしたいと思います。
補足
あれから6年たつのか～。お久しぶりです。質問者本人です。 あらゆる知識がデジタル化され、インターネットで検索できる すごい時代になってきましたね。 この問題に関して検索してみたところ以下のサイトに証明が載っていました： http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=6246 どうも数学の研究者の論文が元ネタのようです： http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.30.2767 のPDFファイルをダウンロードして読んでもらえば同じ論理で証明されています。 本質的には直線で区切られた有界区画多角形の内角の問題みたいです。 ★「４辺以上もつ多角形は、両端の内角の和が１８０度未満になる辺を高々２個もつ。」 という事実を証明して、線分の片側がその両端の内角の和が１８０度未満なら赤を塗り、もう片側を青に塗り、赤い線分の数に関して不等式を立てこの問題を証明しています。 つまり、線分の数をDとし、有界区画の数をF、三角形区画の数をmとすると、４辺以上もつ有界区画の数は、(F-m)なので、上の★の事実から、次の不等式が成り立つ： D≦3m+2(F-m)=m+2F 一方、簡単な組み合わせの議論で、D=n(n-2)、F=(n-1)(n-2)/2であることがわかるので、m≧n-2 が得られる。 なんとあっさりしているのでしょう・・・。 つぎは三角領域の最大値の問題を考えてみることにします。もっと言うと三角領域の個数をnの式で表すことに挑戦してみます。いろいろなサイトを見ましたが、いまだに答えがないみたいです。 ご協力頂いたみなさまに感謝致します。