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三角形の個数
stomachmanの回答
- stomachman
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どうもいい加減な話を書くと、あちこちボロが出ますね。申し訳ない。飽くまでひとつの方針と、考察の一例をご参考までにupしてみただけです。 (1) No.6の三角形だけ通る場合について。 ご指摘の通りですね。３つの直線が１点で交わらない限り２つ以上の三角形だけを通ることは起こらない。ですから、三角形１個を通過する場合だけ検討すれば十分ということですね。流石です。 (2) No.6で言っているa,bは多角形を作っている直線のうちで、多角形の辺上でcと交差していないもののことです。ここでは具体的には四角形をイメージして話をしています。５角形以上の時、議論がそのまま使えるかどうかは要検討事項です。 (3) ご指摘の通り、いささか混乱してます。 > 最後の直線ｂ上の４つの交点の順番は、(b,c),(a,b),(b,d),(b,e)という >のは駄目なのでしょうか？そういう場合もあると思うのですが。 直線a上で(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)の順である場合、 直線b上で(b,c),(a,b),(b,d),(b,e) 直線b上で(a,b),(b,d),(b,e),(b,c) の二通りが確かにあります。で、その後の議論は直線b上で(b,c),(a,b),(b,d),(b,e)となる場合について言っている。（場合分けして処理するつもりが、途中で忘れちゃったらしいです。すいません。） (4) 方針としては、串刺しにされている多角形が、隣合う多角形に「cは三角形でない多角形から三角形を切り取らない」という条件を押しつけて行く。そうするとどうしても最後にはこの条件を満たせなくなる、というストーリーです。 このとき、新しい直線f,g,h,....をどんどん加えてcが新しい三角形を構成するのを妨害しても良い。ただし制限を課す。「cを除き、既存の(n-1)本及び加えたf,g,h,..が構成する三角形の個数は、cを加えても増えないようにする。（ですからf,g,h,....は、cが通過しないところに幾つ多角形や三角形を作ろうと、かまわない）」 そういう加え方がないことを証明しようというわけです。 この考え方は、要するに、「どんな既存の２本以上の直線の配置においても、新たに１本直線を加えるとかならず三角形が増える」という、強い定理を証明しようということです。 元々の目的では「(n-1)本の直線が(n-2)個以上の三角形を作っている場合、新たに１本直線を加えても、三角形の個数は(n-2)以上である。」を示せば良いのですが、それよりも強い定理であることはお分かりでしょう。 一方、無限遠点を考える代わりに、球面幾何でやってみたらどうか、とも思っています。全ての領域が閉じた多角形になるので扱いやすいかもしれないと思ったんです。この場合、直線＝大円であり、地球の表側と裏側に同じ図形が対になって発生します。いや、この方向ではまだ何も進展していませんが。 面白い問題ですね。通常、質問の意図が分からないとき以外は「回答に自信なし」だったらupしないのですが、余り面白いので自信なしを連発しています。お邪魔なら言ってね。
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お礼
いえいえ全然邪魔ではないです。実は私、大学院で変換群論を研究している学生 なのですが、ひまつぶしに考えた問題があなたの仰るように結構おもしろく、 かつ、私にとっては難解だったため、ここに投稿した次第です。過去ログをみた ところ、stomachmanさんは物理学方面に造詣が深いみたいで、大変心強く感じて います。まるで、共同研究をやっているみたいでとても楽しいです。この場所で 是非ともこの問題を解決させたいものです。 球面を考えるという発想は、友人と話しているときに出てきましたが、あまり、 利点はなかったように記憶してます。