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三角形の個数
stomachmanの回答
- stomachman
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この問題って、三角形の最大個数に関してはどこかで見た憶えがあります。 どうもsokamoneさんはほぼ証明を完成していらっしゃるようですね。 「最後に引く直線cに最も近い、既存の交点(a,b)を選ぶと(a,b)(a,c)(b,c)の三角形の中を通る直線はない。」 なるほど、この補題は簡単明解、秀逸ですね。直線を追加するごとに三角形が少なくとも１個増えることが保証されました。従って、「外側」云々は必要ない。脱帽です。 さて、だったら、[B]の議論は不要でしょう。 (1)直線が3本のとき、三角形は１個である。 (2) n≧4について、直線が(n-1)本あって、三角形がm個できているとき、もう一本直線を加えると三角形の個数はm+1以上である。 が証明できたわけですから、数学的帰納法によって 下限の定理：「n本の直線をひくと、三角形はn-2個以上できる」 が証明できています。 あとは、具体的にn-2個の三角形しか作らないようにn本の直線をひくアルゴリズムを構成してみせれば完成ですね。
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