• 締切済み

差の分布(確率)

(X,Y)が2次元正規分布(μ1,μ2,σ1^2,σ2^2,ρ)に従っているとき、 X~N(μ1,σ1^2), Y~N(μ2,σ2^2), XとYの相関係数はρというのは間違いないと思っています。ところで、 (1) Y-Xは正規分布に従いますか?(XとYが独立でない場合にも再生性は保持されるのか?) (2) 条件付き期待値E(Y-X|Y>X)は求められますか? 実は(2)が解きたいのですが、(1)が成り立つ(Y-X~N(μ2-μ1,σ1^2+2ρ σ1 σ2+ σ2^2)となるような気がするのですが)ならば、話が早くていいなぁと思いつつ、 同時密度関数h(x,y)を用いて、∫(-∞~+∞)h(t,z+t)dtをごりごり計算すれば(1)が解決するとは思いますが、それをごりごり計算している暇がなく・・・ ということで困っています。どなたかお助け願えないでしょうか?

  • kony0
  • お礼率57% (24/42)

みんなの回答

  • stomachman
  • ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答No.1

X,Yの直交座標系を回転してx,y直交座標系に写し、x,yが無相関(ρ=0)になるようにしてやれば良いのです。そしてY-Xをx,yで表せば、アトは簡単ですね。これが主成分分析(principal component analysis)というやりかたです。

kony0
質問者

お礼

stomachmanさん、ありがとうございます。仰せのとおりの方法を自分なりに解釈してみましたが、こんな感じでよいのでしょうか? 1. U=Xcosθ+Ysinθ, V=-Xsinθ+Ycosθにより確率変数(U,V)を定義する。 2. Cov(U,V)=cosθsinθ(-V(X)+V(Y))+((cosθ)^2-(sinθ)^2)Cov(X,Y)=0という方程式を解いて、回転角についてθ=(1/2)*arctan(2Cov(X,Y)/(V(X)-V(Y))とすればU,Vは無相関となる。 ここで、(U,V)は無相関な2次元正規分布に従うことから、(周辺分布)U,Vはそれぞれ独立な正規分布に従う。(2次元正規分布に限り、ρ=0は独立の十分条件だったはず) 3. X=Ucosθ-Ysinθ, Y=Usinθ+VcosθよりY-X=U(sinθ-cosθ)+V(sinθ+cosθ)。U,Vについての再生性を用いることが可能。 という方法を用いると、結局Y-X~N(E(Y-X),V(Y-X))が(Excel上数値的には)言えるような気がしました。(式で証明をするのはでかすぎて大変ですが・・・) ちなみに(2)は求める値を間違えてました。。。ごめんなさい。でも(1)を解決していただいたおかげで見通しがついたような気がします。ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 指数分布・条件付確率

    「Xの分布=Yの分布=Exp(1)のとき、P(Y≧3X)を求めよ」 という問題についてですが、まず Xの確率密度関数:f(x)=e^(-x) (x>0) Yの確率密度関数:g(y)=e^(-y) (y>0) と表せます。 解答では、 P(Y≧3X) =∫[-∞~∞]P(Y≧3X|X=t)*f(t)dt =∫[0~∞]P(Y≧3X|X=t)*e^(-t)dt  (★) =∫[0~∞]P(Y≧3t)*e^(-t)dt    (▲) =∫[0~∞]{∫[3t~∞]g(u)du}*e^(-t)dt =∫[0~∞]{∫[3t~∞]e^(-u)du}*e^(-t)dt =1/4 となっています。 疑問なのは★→▲への計算なのですが、 条件付確率の条件が外れるということは、XとYが独立だということになります。 しかし、問題文の1行からはXとYが独立とは、私には読み取れないのです。 私が読み取れないだけで、独立という設定なのでしょうか? それとも、指数分布の性質により独立と判断できるのでしょうか?

  • 2変量の確率分布について

     統計学の勉強をしています。一様分布における2変量の確率変数についてわからなくなったので質問させてください。  一様分布の確率密度関数はfx(x)=1/(b-a)ですが、b=1,a=0とするとfx(x)=1となりますよね。  このことを踏まえて2変量t=x+y(yもxと同様の一様分布の確率でxとyは独立)を定義して、その確率密度関数はf(t)=∫fx(x)fy(t-x)dxで与えられますよね(ここで間違っていたならすみません…)  そこでこの関数にfx(x)=1,fy(y)=1を代入して∫範囲を0から1(dxで積分ですから)に設定して積分をするとf(t)=1となってしまいました。  このままtにおいてtの期待値を求めると∫(0,2)tf(t)dt=2となりました。(積分範囲はdtについてですから0から2までとしました)  しかし、よく考えてみると0から2までの範囲の一様分布でその期待値となるのは普通1じゃないかと思います。  計算が間違っているのか、そもそも考え方が違うのか、わかる方がいらっしゃったら、ご教授していただけませんでしょうか?よろしくお願いします。

  • 相関がある2つの正規分布

     確率統計の試験の過去問題で分からない問題があったため質問させていただきました。問題分の内容は以下になっています。 (問題) Xは平均1、分散4の正規分布に従い、Yは標準正規分布に従う確率変数である。またXとYの相関係数は0.5である。X+Yが0以下になる確立を求めなさい。    互いに独立な時は正規分布の再生性よりX+YがN(1,4)に従うのですが相関があるときにどうすればよいかが分かりません。 宜しくお願い致します。  

  • 正規分布

    正規分布 以下の写真の正規分布に関する問題について質問させていただきたいと思います。 [質問内容] (1)が分かれば後は分かると思いますので、(1)について質問をさせていただきたいと思います。2次元正規分布の問題なので、 X~N(μ、σ^2), Y~N(μ、σ^2) とした時の、XとYの同時密度関数をかけば良いんですよね? 私が、分からないのはここから先なのですが、XとYが独立のときは密度関数をf,gとすると f(x,y)=f(x)g(y) と、かけてこれが答えになると思うのですが、独立じゃないときは f(x,y)=f(x)g(y|x) となり、良く教科書でρを使っている長ったらしい数式が出てくると思います。ここで上の式と下の式の違いはρが0かどうかで違うと思うのですが、問題に2つの確率変数が独立かどうかなんて書いてありませんから、上の2つのように場合分けをして答えを書くのでしょうか?それともXとYはあの形から独立と分かるのでしょうか?よろしくお願いします。

  • 2次元正規分布

    2次元正規分布に関する質問をさせてください。 xとyが独立で、かつそれぞれが標準正規分布N(0,1)に従っているとき。 また2次元正規分布f(u,v)がN(0,0,σ1,σ2,ρ)である時。 確率変数 U,VをX,Yで表す場合、どのように解いたらいいのでしょうか。よろしくお願いします。

  • 二次元正規分布

    二次元正規分布 h(x、y)=1/2πσ(1)σ(2)(1-φ)^1/2*e^-1/2(q(x,y)) q(x,y)=1/(1-φ){[(x-μ(1))/σ(1)]^2-2φ*[(x-μ(1))/σ(1)]*[(y-μ(2))/σ(2)]+[(y-μ(2))/σ(2)]^2} (σ(1)、σ(2)>0)、|φ|<1 の変数xの周辺分布 h(x、y)のyについての全積分が正規分布N(μ(1)、σ(1)^2)の式になる積分計算が何回やってもできないです 教えてください おねがいします

  • 非正規母集団の相関係数の有意性検定法について

    変量(X,Y)に関する,大きさNのデータが既知であるとき,X, Yの相関係数ρの有意性を検定(無相関検定)する方法を探しています。 ただし,データは標本ではなく母集団であり,X,Yに関して正規分布が仮定できないとします。 無相関を仮定して,相関係数の確率密度分布を求め,その分布を利用して検定する(実際の相関係数ρが分布のどの程度端に存在するかを見る)という方法でよいのでしょうか? よろしくお願い致します。

  • 確率の独立性と分布

    R、θは独立な確率変数であり、Rはレイリー分布に従い、θは一様分布U(-π,π)に従うとする。 このとき、X=Rcosθ、Y=Rsinθは独立で、それぞれ標準正規分布N(0,1)に従うことを示せ。

  • 密度関数の求め方(確率論)

    問題 X,Y:標準正規分布N(0,1)を分布にもつ独立な実確率変数とします このときZ=X/Yの分布は1/π(1+x^2)を密度関数に持つことを示せ というものなんですが、 これはいわゆるCauchy分布です Zの分布関数を地道に計算すればいいんですが、 どうもうまくできません。 計算の経過も丁寧に解説してくれる人がいたらどうかお願いします ただ、公式を適用するとかいうのはなしでお願いします

  • 【指数分布】確率変数の和

    X1,X2,...,Xnは互いに独立な確率変数であり、 それぞれ指数分布 f(x)=1/λ*exp(-x/λ) (x>0) に従います。 確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の確率密度関数をfk(x) とするとき、 (1)fk(x)=∫[0,∞]fk-1(x-t)f(t)dt (x>0) を示せ。 (2)fn(x)を求めよ。 (3)確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の期待値、分散を求めよ。 との問題なのですが、 (1)について、 XとYが独立であるとき、Z=X+Yの確率密度関数fZ(z)は 畳み込み積分で与えられるので、 fZ(z)=∫[-∞→∞]fX(x)fY(z-x)dx を...と考えたのですが 上手く証明ができません。 また、(2)について、 指数分布が事象が起きる時間間隔が従う分布だということから 要は、n回の事象が起きるまでの時間と考え、 fn(x)=n/λ だとは思うのですが、よくこれは特性関数から計算すれば良いのでしょうか... どなたか数学に詳しい方が居られましたら、 ご教授のほどよろしくお願いいたします。