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差の分布(確率)

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お礼率 57% (24/42)

(X,Y)が2次元正規分布(μ1,μ2,σ1^2,σ2^2,ρ)に従っているとき、
X~N(μ1,σ1^2), Y~N(μ2,σ2^2), XとYの相関係数はρというのは間違いないと思っています。ところで、
(1) Y-Xは正規分布に従いますか?(XとYが独立でない場合にも再生性は保持されるのか?)
(2) 条件付き期待値E(Y-X|Y>X)は求められますか?

実は(2)が解きたいのですが、(1)が成り立つ(Y-X~N(μ2-μ1,σ1^2+2ρ σ1 σ2+ σ2^2)となるような気がするのですが)ならば、話が早くていいなぁと思いつつ、
同時密度関数h(x,y)を用いて、∫(-∞~+∞)h(t,z+t)dtをごりごり計算すれば(1)が解決するとは思いますが、それをごりごり計算している暇がなく・・・

ということで困っています。どなたかお助け願えないでしょうか?
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レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

X,Yの直交座標系を回転してx,y直交座標系に写し、x,yが無相関(ρ=0)になるようにしてやれば良いのです。そしてY-Xをx,yで表せば、アトは簡単ですね。これが主成分分析(principal component analysis)というやりかたです。 ...続きを読む
X,Yの直交座標系を回転してx,y直交座標系に写し、x,yが無相関(ρ=0)になるようにしてやれば良いのです。そしてY-Xをx,yで表せば、アトは簡単ですね。これが主成分分析(principal component analysis)というやりかたです。
お礼コメント
kony0

お礼率 57% (24/42)

stomachmanさん、ありがとうございます。仰せのとおりの方法を自分なりに解釈してみましたが、こんな感じでよいのでしょうか?

1. U=Xcosθ+Ysinθ, V=-Xsinθ+Ycosθにより確率変数(U,V)を定義する。
2. Cov(U,V)=cosθsinθ(-V(X)+V(Y))+((cosθ)^2-(sinθ)^2)Cov(X,Y)=0という方程式を解いて、回転角についてθ=(1/2)*arctan(2Cov(X,Y)/(V(X)-V(Y))とすればU,Vは無相関となる。
ここで、(U,V)は無相関な2次元正規分布に従うことから、(周辺分布)U,Vはそれぞれ独立な正規分布に従う。(2次元正規分布に限り、ρ=0は独立の十分条件だったはず)
3. X=Ucosθ-Ysinθ, Y=Usinθ+VcosθよりY-X=U(sinθ-cosθ)+V(sinθ+cosθ)。U,Vについての再生性を用いることが可能。

という方法を用いると、結局Y-X~N(E(Y-X),V(Y-X))が(Excel上数値的には)言えるような気がしました。(式で証明をするのはでかすぎて大変ですが・・・)

ちなみに(2)は求める値を間違えてました。。。ごめんなさい。でも(1)を解決していただいたおかげで見通しがついたような気がします。ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-01-12 16:15:59


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