極限値の問題!誰かやってください
- 誰かに解いてもらいたい極限値の問題です。身近な知り合いに頼んだけど答えがわからなかったんです。答えは1/6だそうです。
- ロピタルの定理やテーラー展開を試してみましたが、解法がわかりませんでした。サイエンス社の『改訂微分積分』に出ている問題です。
- 他の問題では答えがわかるのに、この問題だけが解けないので困っています。どなたか解いていただけないでしょうか?
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誰かやってください(ビブンセキブン~いい気分~)
極限値の問題です。 lim{(x)^x-(sinx)^x)/(x^3) x→+0 というものです。身近な知り合い3名ほどにやってもらいましたが、お手上げでした。答えは1/6になるそうです。ロピタルの定理、テーラー展開など考えられるものやってみましたが・・・修行不足かな? サイエンス社 サイエンスライブラリ理工系の数学2”改訂微分積分”州之内治男/和田淳蔵共著、改訂11版、P21 からの出展です。 往年の名著だし、改訂されているから、出題ミスということはないとは思いますが・・・ ちなみに lim{x-sinx)/(x^3)=1/6 x→+0 という類似問題を他の本で見ましたがこれは大丈夫です。
- zuri1000
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分子を x^3 のオーダーまで求めればよいわけです. x→0 のとき sin x = x -(1/6)x^3 + O(x^5) ですから (1) log (sin x)^x = x log (sin x) = x log {x-(1/6)x^3 + O(x^5)} = x log x + x log {1-(1/6)x^2 + O(x^4)} = x log x - (1/6)x^3 + O(x^5) したがって (2) (sin x)^x = exp{x log x -(1/6)x^3 + O(x^5)} = x^x {1-(1/6)x^3 + O(x^5)} これから 分子 = x^x {(1/6)x^3 + O(x^5)} x^3 はちょうど分母と消え,x^x→1 だから 極限値=1/6 使っているのは,ロピタルの定理、テーラー展開くらいです.
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