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お礼率 88% (8/9)

極限値の問題です。

lim{(x)^x-(sinx)^x)/(x^3)
x→+0

というものです。身近な知り合い3名ほどにやってもらいましたが、お手上げでした。答えは1/6になるそうです。ロピタルの定理、テーラー展開など考えられるものやってみましたが・・・修行不足かな?

サイエンス社 サイエンスライブラリ理工系の数学2”改訂微分積分”州之内治男/和田淳蔵共著、改訂11版、P21 からの出展です。
往年の名著だし、改訂されているから、出題ミスということはないとは思いますが・・・

ちなみに
lim{x-sinx)/(x^3)=1/6
x→+0
という類似問題を他の本で見ましたがこれは大丈夫です。
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レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

分子を x^3 のオーダーまで求めればよいわけです.

x→0 のとき
sin x = x -(1/6)x^3 + O(x^5)
ですから
(1) log (sin x)^x
   = x log (sin x)
   = x log {x-(1/6)x^3 + O(x^5)}
   = x log x + x log {1-(1/6)x^2 + O(x^4)}
   = x log x - (1/6)x^3 + O(x^5)
したがって
(2) (sin x)^x
   = exp{x log x -(1/6)x^3 + O(x^5)}
   = x^x {1-(1/6)x^3 + O(x^5)}
これから
分子 = x^x {(1/6)x^3 + O(x^5)}
x^3 はちょうど分母と消え,x^x→1 だから
極限値=1/6

使っているのは,ロピタルの定理、テーラー展開くらいです.
お礼コメント
zuri1000

お礼率 88% (8/9)

わーい。ありがとうございました。こころのモヤモヤが消えました。
きれいな回答でわかりやすかったです。ロピタルの定理だけだと死にましたし、私はX^Xと(sinX)^Xを普通にテーラー展開していました。なるほど、一旦対数を取るのですか。思いつきませんでした。
投稿日時 - 2002-01-10 01:57:47
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