自作問題(図形？)です

質問

自分で考えた問題なんで、解けるかどうかも分かりません

「１辺70cmの正方形の内部(辺上含む)に、50個の点を適当にばらまく。このとき、２点間の距離がαcm以下になるような２点が必ず存在する。」
上記の主張が成り立つようなαの最小値を求めよ。

これの元ネタは、αでなく10√2 という具体的な値で、これが成り立つことを証明せよというものです。
この場合は、正方形を7×7=49個の小正方形に分けると、鳩の巣原理によって明らか、ということでした。
しかし、直感的に、これより小さな値でも成り立ちそうなので、この問題を考えました。
作ったはいいものの、私には解けそうにありません。
誰か代わりに解いてやってくれませんか？
できれば、高校レベルの知識で分かるように説明してほしいと思います。

回答No.11

stomachman · ベストアンサー

またまたstomachmanです。
No.4のlinus3030さんによるアイデアを使って、αminの上限をさらに絞り込んでみましょう。

　直径１のコインのたわら積みでぎっしり平面を埋め尽くした状態を考えます。（これが最密充填であることは自明として認めることにします。）するとコイン１個あたり、一辺１の正三角形２個分の面積、すなわち√3/2を必要とします。
　では、正方形でこの平面を切り取った時、その中にコインは幾つ入るか。
　正方形の辺や角の部分ではコインが半端に切り取られ、これらは数に入らない。だから、「コインの個数は(正方形の面積×2/√3)を越えることはない」と言えます。この事から、50個のコインを入れられる正方形の面積は、(25√3)以上なくてはならないことが分かります。

　一方、コインをどう並べても、正方形の４つの隅の部分をコインが覆うことはあり得ません。ちょっと余ってしまう。その余る部分の面積は（1-コインの面積）に等しい。だから正方形内部のうち有効に使える部分の面積は、「正方形の面積-(1-コインの面積)」です。
　ゆえに50個のコインが入れられる正方形は、
(正方形の面積)-(1-コインの面積)＞25√3
を満たさねばなりません。すなわち
(正方形の面積)＞25√3+(1-π/4)
よってその正方形の一辺は
√(25√3+(1-π/4))≒6.597
よりも大きくなくてはならない。以上から、
αmin＜70/(√(25√3+(1-π/4))-1)≒12.507
という、さらに改良されたαminの上限が得られました。

　ここから先、上限を抑えていくには、辺や角の近くでの余りの出方などを細かく詰めていく必要があるから、かなり難しいでしょう。

　一方、下限の方は、実際にパチンコ玉などを並べて四角い枠で囲んで揺すってみることで、ひょっとすると旨い配置が見つかるかも知れません。もし見つかったら、きちんと計算して正方形の大きさを出せば下限が改良できます。
　とりあえず、No.8の最後で示した配置における正方形の一辺の長さL''を頑張って計算してみました。配置はこんな感じです。
　●　●　●　●　●　●　
　　○　●　●　●　●　●
　８　●　●　●　●　●
　　○　●　●　●　●　●
　●　●　●　●　●　●　
　　○　●　●　●　●　●
　８　●　●　●　●　●　
　　○　●　●　●　●　●
8のところに縦に２個くっついたコインが入ります。これらの左側に縦に並べた４個のコインの中心を結ぶ直線と、横に一列6個並べた段の左端のコイン（○で示す。４個あります）の中心を結ぶ直線との距離をwとすると
L'' = 7h+1
L''=5x+6+w
h^2=1-((1+x)/2)^2
(h-1/2)^2+w^2=1
となり、その結果（解析的に示すのはしんどいのでお任せして、数値だけ示すと）
w≒0.932699297
x≒0.018377
h≒0.86065
L''≒7.02458
αmin≧11.6190
が得られました。

　かくて、これまで具体的に求めたαminの存在範囲は
12.507＞αmin＞11.619
となりました。1cm近い幅があり、特に上限の方はまだまだ改良の余地があります。

お礼

本当に詳しい回答ありがとうございます

回答を見ていて思ったのですが、論理式というのは使いこなせるとかなり便利みたいですね
否定の作り方なんかもきちんと定理化されているようですし
日本の高校はどうして教えないんでしょうかね

＞　直径１のコインのたわら積みでぎっしり平面を埋め尽くした状態を考えます。（これが最密充填であることは自明として認めることにします。）
＞　するとコイン１個あたり、一辺１の正三角形２個分の面積、すなわち√3/2を必要とします。

なるほどそういう理屈でしたか
一辺１の正三角形２個分の面積というのは、円に外接する正六角形の面積とも考えられますね
蜂の巣型のイメージで、私はそう解釈しています
余談ですが、昔、縦５cm横８cmの長方形に直径１cmのコインを何個入れられるかという問題があったのを思い出しました
素直に８×５＝４０個だろうと予想したのですが、蜂の巣型に詰めると実は４１個詰められるというのを知り、奇妙に感じたのを覚えています
結局のところ、コインの詰め方としては、蜂の巣型が一番効率が良いということですね
鳩の巣原理ならぬ蜂の巣原理とでも呼びましょうか(^_^;)

＞　かくて、これまで具体的に求めたαminの存在範囲は
＞　12.507＞αmin＞11.619
＞　となりました。1cm近い幅があり、特に上限の方はまだまだ改良の余地があります。

かなり絞れましたが、具体的にαmin＝～ となる１点を特定するのはあきらめた方がよさそうですね
しかし、力ずくで近似値を求めようとするなら、いくつか方法はありそうです
たとえば、実際にコインを使ってやってみるというのも一つの方法です
この場合は、棒状のものをワクにして正方形の形を維持したままどんどん大きさを小さくすれば、およその数値が分かりそうです
もっと正確を期すなら、プログラムを組んでパソコンにシミュレーションさせるという手もありますね
今度ヒマがあったらやってみようと思います

回答No.13

stomachman

No.11で計算した下限も、まだ改良できます。というのも、最も左側にある黒丸で示したコインはまだ0.Xミリほどガタガタ動ける。これを詰めるように隙間を調節してやることが可能なんですが、もうこうなると簡単な幾何学では計算は困難でしょう。
コンピュータで探すというのも実は容易なことではありません。近似解を与えて微調整させるだけでもなかなか難しいもので、全然違う配置パターンを探すとなると、これはもう凄いことになってしまいます。
ですから、この問題のミソは、(5)の言い換え「一定のサイズのコイン50個を配置できる最小の正方形を求む」に帰着できる、という点にあって、そこから先はおいそれとは手が出ない。専門家が本気で取り組むレベルの問題になっちゃうんです。
stomachmanとしてはここまででギブアップ。

お礼

なるほど～
元々の問題が10√2の証明で終わっていたのも、そういうわけだったんですね
私としては、コインのしきつめ問題に帰着できると分かっただけでも満足です
回答してくださった皆さん、ありがとうございました

回答No.12

hidearex

完全に誤解してますね。。。私が！！

失礼致しましたm(__)m

お礼

いえ、こちらこそすいません
私も、頭の中をうまく整理できないまま聞いてしまったので、少し混乱してしまいました
問題出す方も楽ではないですね。。。

回答No.10

stomachman

stomachmanです。
No.8で、copy & pasteを失敗したみたいです。
>　L' = 7.947 cm
は間違いで
L' ≒ 7.046cm
と訂正します。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
ちなみに(1)～(5)の言い換えをもう少し厳密に書いてみます。
n={1,2,..,50}、点の列をP[i]（i∈n)、２点P,Qの距離をd(P,Q)、実数の集合をRと書くことにすると、

(1)は
A={α | α∈R∧∀P( ∀i(i∈n→P[i]∈S) → ∃i∃j((i∈n∧j∈n∧i≠j)∧d(P[i],P[j])≦α))}
という集合の下限を求める問題、
(2)は
B={α | α∈R∧∃P( ∀i(i∈n→P[i]∈S) ∧ ∀i∀j((i∈n∧j∈n∧i≠j)→d(P[i],P[j])≧α))}
という集合の上限を求める問題です。

　AとBは１個の要素αminを除いて、互いに実数の補集合になっています（A∪B = R, A∩B={αmin}）。なぜなら、論理式
∀P( ∀i(i∈n→P[i]∈S) → ∃i∃j((i∈n∧j∈n∧i≠j)∧d(P[i],P[j])≦α))
の否定が
∃P( ∀i(i∈n→P[i]∈S) ∧ ∀i∀j((i∈n∧j∈n∧i≠j)→d(P[i],P[j])＞α))
に他ならないからです。そして、
∀α∀β（(α∈A∧β∈B) → α＞β)

　さて、平面上に直交座標系<x,y>を決め、S(L)を、中心が原点にある一辺Lの正方形
S(L)={<x,y>| |2x|≦L ∧ |2y|≦L}
とします。中心がPにある直径αのコイン (α＞0)が占める領域C(P,α)は
C(P,α)={<x,y>|d(<x,y>,P)＜α/2}
です。もしP∈S(α)ならば、コインが占める領域C(P,α)は
S(L+α)={<x,y>| |2x|≦L+α ∧ |2y|≦L+α}
という正方形の中に必ず納まる。つまり
C(P,α)⊂S(L+α)
です。（より正確には、S(L+α)の四隅を半径α/2の円弧で丸めた形の中に必ず納まる。）つまりまた、S(L+α)に納まるコインの中心Pは必ずP∈S(α)である。まとめると
∀α(α＞0→∀P((P∈S(α))⇔C(P,α)⊂S(L+α))
である。
また「２個のコインC(P,α), C(Q,α)が重なりあわない」という命題をF(P,Q,α)と書けば、これは「C(P,α)∩C(Q,α)が空集合」ということと等価であり、すなわちF(P,Q,α)の必要十分条件は
d(P,Q)≧α
です。そして
αmin＞0
も自明です。だから(2)を次のように書き換えることができる。
C={α | α∈R∧α＞0∧∃P( ∀i(i∈n→C(P[i],α)⊂S(70+α)) ∧ ∀i∀j((i∈n∧j∈n∧i≠j)→F(P[i],P[j],α) ))}
の上限を求める問題。これが(3)です。

次に(4)。これは(3)の座標系をx,y共に1/α倍に相似変換したものに過ぎません。αそのものには何の影響もないので、
C={α | α∈R∧α＞0∧∃P( ∀i(i∈n→C(P[i],1)⊂S(70/α+1)) ∧ ∀i∀j((i∈n∧j∈n∧i≠j)→F(P[i],P[j],1) ))}

(4)から(5)への言い換えは自明でしょう。

回答No.9

hidearex

たびたびスミマセン。。。

＞正方形を7×7=49個の小正方形に分けると、任意の2点間の
＞距離の最大値は10√2となります。
＞この事例は、10√2＞αだと当てはまりません。

最大値じゃなくて最小値でした(;^_^A アセアセ

あと、繰り返しになりますが　「αの最小値＝10√2 」ですが
これが「αの最小値＝いちばん距離の近い二点の距離」ということには
なりませんよ！！

回答No.8

stomachman

ご質問には何もおかしな点はありません。ランダムなんて一言もいってませんしね。

(1)「一辺70cmの正方形の領域Sの中から50個の点P[i] (i=1,2,....,50)をどう選んでも、
∃i∃j(i≠j ∧ P[i]とP[j]の距離がα以下）
となるようなαの下限を求める」という問題。言い換えれば、

(2)「一辺70cmの正方形の領域Sの中から50個の点P[i] (i=1,2,....,50)を旨く選んで、
∀i∀j(i≠j → P[i]とP[j]の距離がα以上）
とできる、そういう選び方が存在するαの上限を求める」という問題。さらに言い換えれば、

(3)「一辺(70+α)cmの正方形の領域Sの中に直径αcmのコイン50個を互いに重なり合わないように並べることができるようなαの上限を求める」という問題。さらに言い換えれば、

(4)「一辺(70/α+1)cmの正方形の領域Sの中に直径1cmのコイン50個を互いに重なり合わないように並べることができるようなαの上限を求める」という問題。さらに言い換えれば、

(5)「直径1cmのコイン50個を互いに重なり合わないように並べることができるような、最小の正方形の一辺の長さをLminとするとき、αmin=70/(Lmin-1)を求めよ。」という問題です。

●この手の問題はたいてい難しい。一般に、上限をご質問に書かれたような方法（10√2＞αminが既に得られていますね）で下げて行き、また実際にコインの並べ方を示すことで下限を上げていって追いつめるんですが、上限=下限に到達するのは容易でない。

●まず下限を検討してみましょう。
　直径1cmのコインを７個一列に並べ、その上に「たわら」を重ねるように６個のコインを一列に並べる。この１３個のセットを４段積み重ねて、都合52個のコインを並べてみますと、幅が7cm、高さは((7√3)/2+1)cmとなり、一辺L=((7√3)/2+1)≒7.062cmの正方形に納まります。
従って、
αmin≧70/(L-1)=(20√3)/3≒11.547cm
という下限が得られます。
　ところで、この並べ方ですと、縦には一杯ですが横に0.062cmの隙間が残っています。だから、はじめに並べる７個のコインの間にちょっとだけ等間隔で隙間を開けてやれば、その上に乗る６個のコインにも同じだけ隙間があくと共に、高さが少し下がる。この方法で52個のコインを納めるもう少し小さい正方形が得られます。隙間をx cmとし、正方形の一辺の長さをL'とします。一列目のコインの中心を結んだ線と、２列目のコインの中心を結んだ線との距離をhとすれば、
L' = 7+6x
L' = 7h+1
h^2=1-((1+x)/2)^2
という連立方程式が得られ、
x=14/(√193)-1≒0.0077cm
L' = 7.947 cm
α' = 70/(L'-1) = (5√193)/6≒11.58 cm
従って、
αmin≧(5√193)/6≒11.58 cm
と下限が改良されました。
　この正方形には、まだコイン２個が余計に入っている。これらを取り除いて丁度50個を入れることにすることで、もうちょっと改良できる。具体的には、まず一辺Lの正方形を用意します。なるべく右に詰めるようにして、「たわら」型に積むんですが、１段目は右に寄せて６個、２段目は５個、３、４、５段目は６個、６段目は５個、７、８段目は６個を積む。これで46個です。あと４個を、左に空いているスペースに、縦一列に揃うように嵌め込む。こうすると、左の隙間がL'の場合より一層大きくなります。だからその分、コインの間隔を大きくでき、従って高さを下げられる。（こうなってくると具体的な計算は面倒ですんでご勘弁。）
　このようにして正方形を小さくする（つまりαminの下限を改良する）ことができる。

●一方、これとは似ていない詰め込み方が存在しないとも限らない。ですからαminの上限を押さえ込んでいく（どうやってもコイン50個が入らない事を示せる正方形を、大きくしていく）ことも重要ですね。
直径1cmのコイン50個の面積は 50π/4 ≒39.26、ですから、一辺がL#=√(50π/4 )≒6.267cmの正方形に納まる筈がないのは自明です。従って、
10√2≒14.14＞13.29≒70/(√(50π/4 )-1)＞αmin
という訳で、上限はあっさり改良されました。まだまだ絞れそうです。

最終決着はなかなか難しいと思います。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます
忙しい上に、論理式に慣れていないので、まだ全部読めていませんが、大体の流れは分かりました
(1)から(2)の言い換えは自分もすぐに分かったんですが、(3)への言い換えは思いつきませんでした
これは、なかなかトリッキーですね
紙に書いてみてなるほどな～と感心してしまいました

それにしても、この問題はけっこう厄介な問題のようですね
多少予想はしていましたが、一般的な解法というのはないのかもしれません
今まで、きれいに証明できる問題ばかりやってきたので、少し戸惑いがあります

回答No.7

hidearex

確認していただきたいのですが、
＞「１辺70cmの正方形の内部(辺上含む)に、50個の点を“適当”にばらまく。
＞このとき、２点間の距離がαcm“以下”になるような２点が“必ず”存在する。」
＞上記の主張が成り立つようなαの最小値を求めよ。（回答：α＝10√2 ）

“ ”で強調した部分をもう一度確認してください。

で、あなたがNO.3で補足してますが
＞「（１辺70cmの正方形の内部(辺上含む)に、）50個の点を“どのように”並べたとしても、
＞そのうち“一番距離の近い”二点を選ぶと、その距離はαcm以下となる。」
＞上記の主張が成り立つαの最小値を求めよ。
＞α=70√2で主張が成り立つのは明らかです。
＞α=10√2の時も証明できました。
＞このようにαの値を小さくしていけば、いつかは主張が成り立たなくなるはずですが、
＞その境界線が知りたいのです。

その境界線が、α=10√2=『αの最小値』です。

＞「」内の主張が“成り立たない”ようなαの値に対して、以下のことが言える。
＞「どの二点をとっても、その間の距離がαcmより大きくなるような並べ方が(少なくとも一つ)存在する。」
＞しかし、ここで、どの二点間の距離も10√2より大きくなるように50個の点を並べるということは不可能だと思います。(紙に書いてやってみました)

“成り立たない”ようなαの値を元にした定理？ですので当然です。

前後しますが
＞最終的にstargazerさんは　10√2＞α となる値があることを証明したい、ということ
ですよね？

正方形を7×7=49個の小正方形に分けると、任意の2点間の距離の最大値は10√2となります。
この事例は、10√2＞αだと当てはまりません。

よって、10√2=『αの最小値』です。

長々と書きましたがいかがでしょうか？
よけいに混乱させてしまったらスミマセン(;^_^A アセアセ

補足

少し誤解されているかもしれないので、今日は強気に反論させていただきます。
長々と書いてしまいましたが、申し訳ありません。
後半は少々お節介だったかもしれません。
お忙しければ、最初の三段落だけでもよいので、じっくり読んでいただきたいと思います。

たぶん、最初に10√2の証明例なんかを出したのが悪かったんでしょうが、ひとまず鳩の巣原理の話は忘れてもらいたいと思います。
確かにあの証明方法では、10√2よりも小さい値では証明できません。
しかし、一つの小正方形の中の二点の距離が10√2になりうるからといって、他の2点の距離すべて(50Ｃ2の組み合わせ)が10√2以上になるとは限りません。(それぞれ別の小正方形の中にある二点が10√2より近づくことがあるのに注意してください。)
それどころか、実際は、必ず10√2よりも距離が短くなる２点が現れるはずです。
実際、紙に書いてやってみれば、言っていることの意味が分かってもらえると思うので、是非やってみることをオススメします。

で、これは証明したわけではありませんが、α=14(＜10√2)として、どの二点の距離も14cm以上になるように点を並べようとすると、どうしてもできないのです。
これは、裏返せば、「どのように点を並べたとしても、どこか２点の距離は14cmより小さくなる」ということです。(つまり、問題の主張はα=14で成り立つわけです。)

あと、“ ”の部分についてですが、「適当にばらまく」というのは、文字通り適当な表現で少しマズかったかな、と反省しています。
ここは、「どのような並べ方をしたとしても」という意味にとってください。
つまり、並べ方は無数にありますが、そのどの並べ方をとっても以下のことが言えるということです。
“以下”というのもあまり深く考えずに使ってしまいましたが、未満の方がよかったかもしれません。(どちらがいいのか自信がありません。)
要するに(初めの問題の)「」内の主張が 成り立つようなαの範囲を求めるということです。

＞「」内の主張が“成り立たない”ようなαの値に対して、以下のことが言える。
＞「どの二点をとっても、その間の距離がαcmより大きくなるような並べ方が(少なくとも一つ)存在する。」
＞しかし、ここで、どの二点間の距離も10√2より大きくなるように50個の点を並べるということは不可能だと思います。(紙に書いてやってみました)

ここでまず、確認してほしいのは、ある主張とそれの“否定”の関係です。
初めの「１辺70cmの正方形の内部(辺上含む)に、50個の点を適当にばらまく。このとき、２点間の距離がαcm以下になるような２点が必ず(少なくとも一組)存在する。」 という主張をＡとすると、
その“否定”つまりノットＡ(Ａのバー)は「１辺70cmの正方形の内部(辺上含む)に、50個の点をばらまく時、どの２点の組み合わせに対してもその間の距離がαcmより大きくなるような並べ方が(少なくとも一つ)存在する。」となります。
この“否定”の作り方は是非とも理解してください。(例：「全てのxの値について～である」を“否定”すると「～とならないｘの値が少なくとも一つ存在する」)
そして、大事なのは、あるαの値に対して、ＡかノットＡは必ずどちらか一つが成り立つということです。
(つまり、Ａが成り立たない＝ノットＡが成り立つ。ノットＡが成り立たない＝Ａが成り立つ。)
ここで話を元に戻すと、"＞"で引用した三行のようなことを言う理由は、(元の問題の)「」内の主張が 成り立たないようなαの範囲を求めることができれば、その範囲を逆にすればよいからです。(例：Ａが成り立たない(＝ノットＡが成り立つ)必要十分条件がα＜11 → Ａが成り立つ必要十分条件が11≦α)
ただ、ここで10√2を使っているのはこちらの不注意です。ごめんなさい。
言いたかったことをもう一度言い直すと、Ａが成り立つαの必要十分条件が仮に(hidearexの主張されているように)α≧10√2 であったならば、上記の例と同じ理屈で、Ａが成り立たないαの必要十分条件はα＜10√2 となります。
このとき、10√2よりもほんの少しだけ小さい値、たとえば14.14をとりますと、14.14＜10√2よりこのときＡは成り立ちません。
Ａが成り立たない＝ノットＡが成り立つ　ですので14.14に対してノットＡが成り立つはずです。
これがすんなり成り立てば問題はないのですが、どうも14.14に対してノットＡは成り立ちそうにありません。(証明にはなっていませんが)
こういう理由でもって「直感的に、これより小さな値でも成り立ちそうなので」と申した次第であります。
「14.14でノットＡが成り立つ」すなわち「(５０個のうち)どの２点間の距離も14.14cmより大きくなるように、50個の点を並べられる。」ということを示せたなら是非おっしゃってください。(証明と言っても、例を一つあげるだけです)
逆に、「14.14ではノットＡは成り立たない」と証明できたなら、それはすなわち「Ａが成り立つαの最小値は14.14以下である」ということが示せたことになります。

回答No.6

hidearex

ちょっと内容を端折りすぎました～(^-^;)

＞しかし、直感的に、これより小さな値でも成り立ちそうなので、この問題を考えました。

ということから、最終的にstargazerさんは　10√2＞α となる値があることを
証明したい、ということかと思ってＮＧですと回答したのですが。。。

慣れない分野でたまに回答するとこれだ(;^_^A 　失礼しました。

補足

＞ということから、最終的にstargazerさんは　10√2＞α となる値があることを
＞証明したい、ということかと思ってＮＧですと回答したのですが。。。
私の意図は、その通りです。
少し問題の書き方が悪かったかもしれないので、No.3に補足を書いておきました。
念のため、もう一度別の言葉で言っておくと、
鳩の巣原理での解き方は、分けた小正方形の内部の点にしか目が向けられておらず、他の小正方形にある点との関係が無視されているのが問題なのです。
もし、ある小正方形の内部で距離が10√2になるような２点があるならば、つまりこれは小正方形の対角に一つずつ点があるということです。
この２点を出発点として、他の点との距離が10√2cm以上になるように点をとっていくと、どうしても70×70の中に50個も入らないような気がするのです。
これはつまり、50個の点を詰め込もうとすると、２点間の距離が10√2より小さくなるような２点が必ず存在するということになりませんか？

くどくど書きましたがだんだん自信がなくなってきました。
どこかでとんでもない思い違いをしているかもしれません。
何か気付かれた方は遠慮なくおっしゃってください。

回答No.5

noname#30727

＞また、No.2 の人の言っておられることは、何か勘違いされています。

あいや～、starfloraさん、ご指摘ありがとうございます。
間抜けな回答をしてしまいました。

回答No.4

linus3030

成り立たない条件を考えてみましょう
正方形の面積をＳ
適当な点の数をｎとし
正方形内の任意の場所をｎの近傍としてグループ分けします。（たとえば一番近い点ｎのグループに属す）

とするとグループはｎ個でき
すべての２点の距離がα以上になるならば
各グループはかならず半径α／2の円をふくみますよね。
で、各グループの面積の平均は
Ｓ／ｎになりますが平均値の定理により
すくなくとも１グループはこれより大きい面積が必要になります。

ところが各辺がαで鋭角が６０度の菱形を考えると
この面積は√３／２ｘαｘαですので
全面積に対するうちの半径α／2の円の占める割合は
これを上回ることはできません。
Ｓ／ｎ＞√３／２ｘαｘαを満たさなければ
αの距離を保てません、（コインのひきつめ問題です。）

Ｓ／ｎ＝√３／２ｘαｘαを解くと
αは10√2よりももっと大きくてもよいようです

補足

コインのしきつめ問題というのは、本質的に近いような気がします。
実際、フチとの距離も問題に含めるのであれば、「直径αの円形のコイン５０個を１辺70cmの箱に重なることなくしきつめられるとき、直径αの最大値を求めよ」という問題に言い換えられそうです。
菱形の面積うんぬんのところはよくわからないのですが、これは、最低限必要な条件ですよね？
S=70×70=4900、n=50で不等式を解くと
113.……＞αｘα　→　10.6……＞α
これは、主張が成り立たないときの必要条件(成り立たないならば10.6……＞α)なので、対偶をとると
10.6……≦αならば主張が成り立つというように言えないでしょうか？
もっともこれは、フチとの距離も考えているので、元の問題にはそのまま使えませんが。

回答No.3

starflora

これは、ＮＧではなく、答えは、α＝１０√２　です。

　　また、No.2 の人の言っておられることは、何か勘違いされています。４９個の点を並べて、そのなかの任意の二点が、かならず、ある大きさ以上になる場合というのが、４９個の小さい四角形の中心に点を置くことで、この時、点の最小の距離は１０ｃｍになります。これにもう一つ点を加えて、可能な最大の二点間距離を求めると、それが、１０√２　ｃｍです。つまり、最大にして、この値なので、５０個のなかの二点は、どうしても、この値以下のものが必ず存在するのです。

　　「適当にばらまく」とは、「ランダムにばらまく」ですから、この時、どうランダムにばらまいても、任意の二点は、最大で１０√２　ｃｍしかならないのです。二点の最小距離は、限りなくゼロに近づくものがあるでしょうが、「必ずそうなる」という訳ではありません。「αcm以下になるような２点が必ず存在する」とうのは、結局、上の答えの通り、α＝１０√２　ｃｍです。これ以上（この大きさは除く）になることはないというのは証明されていますから、「この値以下になるような２点が必ず存在する」と言えることになります。

　　分かりにくいかと思いますので、もう一度説明しますと、幾らでも２点は接近できます。しかし、必ず、０．１ｃｍ以下とかは言えないのです。ランダムですから、もっと大きな間隔が最小の２点間隔となる場合があり得るのです。何ｃｍ以下だと、必ず言えるかと云いますと、任意の二点は、１０√２　ｃｍ以上は、大きな間隔になれないのですから、１０√２だと、どんな場合でも、これ以下の二点間距離となるのです。

補足

問題の意図がうまく伝わらなかったかもしれないので、少し問題を書き換えます。

「50個の点をどのように並べたとしても、そのうち一番距離の近い二点を選ぶと、その距離はαcm以下となる。」
上記の主張が成り立つαの最小値を求めよ。

α=70√2で主張が成り立つのは明らかです。
α=10√2の時も証明できました。
このようにαの値を小さくしていけば、いつかは主張が成り立たなくなるはずですが、その境界線が知りたいのです。

"直感的に、これより小さな値でも成り立ちそう"と言いましたが、そのわけはこうです。
「」内の主張が成り立たないようなαの値に対して、以下のことが言える。
「どの二点をとっても、その間の距離がαcmより大きくなるような並べ方が(少なくとも一つ)存在する。」
しかし、ここで、どの二点間の距離も10√2より大きくなるように50個の点を並べるということは不可能だと思います。(紙に書いてやってみました)
もしできるなら、証明は終わりなので、その並べ方を教えてください。

それから、「＞」と「≧」の違いはあんまり深く考えていませんが、あしからず。