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式の証明です。
関数f(x,y)を ∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2 = 0 を満たす関数とする。円Ｃを点(a,b)を中心とした半径rの円とするとき f(a,b) = 1/(2π)∫{0～2π}f(a+rcosθ,b+rsinθ)dθ が成立することを証明しなさい …という問題なのですがどうやっていいものか悩んでいます。 できれば詳しく回答してくれると大変助かります。 よろしくお願いします。
- gros_rouge
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- nuubou
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Ｃの周りにおいてはｚ－α＝ｒ・ｅｘｐ（ｉ・θ）とおけるから ｄｚ＝ｉ・ｒ・ｅｘｐ（ｉ・θ）・ｄθ＝ｉ・（ｚ－α）・ｄθ であるから ｇ（α）＝１／（２・π）・∫（０～２・π）ｄθ・ｇ（α＋ｒ・ｅｘｐ（ｉ・θ）） 両式の実部をとれば ｆ（ａ，ｂ）＝１／（２・π）・∫（０～２・π）ｄθ・ｆ（ａ＋ｒ・ｃｏｓθ，ｂ＋ｒ・ｓｉｎθ） となる
- nuubou
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命題：Ｄが単連結開集合であればＤで調和な実関数ｆはＤで正則な関数ｇの実部に等しい というのがあるみたいですよ だとしたら問題の式はコーシーの積分表示式の ｇ（α）＝１／（２・π・ｉ）・∫（｜ｚ－α｜＝ｒ）ｄｚ・ｇ（ｚ）／（ｚ－α） の実部ではないでしょうか？ ただし α＝ａ＋ｉ・ｂ ｚ＝ｘ＋ｉ・ｙ ｒｅａｌ（ｇ（ｚ））＝ｆ（ｘ，ｙ） ∫（｜ｚ－α｜＝ｒ）ｄｚは左回りの線積分
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