以下にもう一度式変形を書きますから落ち着いてよんでください。
2√(a,a)√(b,b)-(a,b)-(b,a)
=2√(a,a)√(b,b)-2Re(a,b)
≧2√(a,a)√(b,b)-2|(a,b)|..............（A)
１番目の変形は(a,b)=Σ_{i}a(i)^*b(i)が内積の定義なので(a,b)+(b,a)=2Re(a,b)を使いました。
二番目の変形はRe(a,b)よりも大きな数|(a,b)|を引けば全体はもっと小さくなるために不等号になりました。つまり|(a,b)|≧Re(a,b)を使いました。
等号である必要ありません。不等号で結構。
さらにA式にシュワルツの不等式|(a,b)|≦|a||b|を使って|(a,b)|をそれよりも大きな数に置き換えます。よって全体はもっと小さくなります
(A) ≧2√(a,a)√(b,b)-2|a||b|
最後に|a|=√(a,a)と|b|=√(b,b)を使えば右辺はゼロです。よって（A)≧０が証明できました。
引き算する数を大きなものに置き換えると、全体は小さくなるということに注意してください。不等号でOKです。
投稿日時 - 2006-02-01 06:42:30
お礼
何度も何度も本当に有難うございます。本が、間違っているんでしょうね。いろいろな本を当たってみたいと思います！
投稿日時 - 2006-02-01 07:13:29
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ベストアンサー以外の回答（13件中 1～5件目)
一言余計ですが、我慢できないので言います。「私、勉強不足ですね」と書かれてますが、そうではなく、人の話をちゃんと読んでいないのです。もっとみなさんの回答を真剣に読むべきです。理解しようとするべきです。即、お礼や補足にコメントされることは、放置なんかと比べて明らかに礼節に適った行動とは思いますが、ろくに読みもせず、見当はずれな補足ばかりじゃないかと思います。
|a・b|＝Re(a・b)はどうやら正しくないようですが、ではなく、正しくないことをご自身でちゃんと確認されるべきだ、ということなのです。そしてそれを納得してください。そして何度も|a・b|≧Re(a・b)を使えば三角不等式の証明が出来る、と言っていますが、そのこともきちんと理解されたのですか？そして、|a・b|≧Re(a・b)を証明なしで使ってもいいのですね、と念を押されてますが、証明したらいいじゃないですか。そしてその証明はすでに私が一番最初の回答で書いてあるのですよ！！（怒）
|a・b|≧Re(a・b)は内積だから成り立つのではなく、すべての複素数について成り立つ自明な不等式です。任意の！複素数zに対して、その絶対値|z|はその実部Re(z)より小さくはならないのです。特に|z|≧|Re(z)|も成り立ちます。それは|z|^2=Re(z)^2+Im(z)^2という定義からすぐにわかりますよね？三平方の定理です。zの代わりに複素数a・bについて言い直せば、そのまま知りたい結果|a・b|≧Re(a・b)がでます。
投稿日時 - 2006-02-01 12:42:13
お礼
怒らせてしまってごめんなさい。回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2006-02-01 13:15:35
頑張ってますね。少し落ち着いて書き込みを読み返したほうが良いとおもいますよ。混乱しているようなので簡潔にまとめます。
（１）||a＋b||≦||a||＋||b||を示すのには
|(a,b)|≧Re(a,b)があれば十分です。
（２）そして|(a,b)|=Re(a,b)は一般には成立しません。本に書いてあろうがなかろうが自分で確認して自分の結果を信じてください。
（２）が一般に成立しないというのには反例を一つあげればよいでしょう、
a=(1,i), b=(1,1)
|(a,b)|=|a1^* b1+a2^*b2|=|1-i|=√２
Re(a,b)=1
√2>1 だから|(a,b)| > Re(a,b)ですよね。
あくまで|(a,b)|=Re(a,b)が成り立つと主張するなら内積の定義などを詳しく与えてもう一度質問しなおしたらどうでしょうか。このままやってもらちがあきません。私はadinatさんと同意見でこの等式は一般には成立しないと思います。
因みに本にだって印刷の段階で間違いが入ります。例えば、本来間違いがあってはならない数学公式集などでも初版には間違いが多くあるものです。だからこそ多くの人に何十年も使われた公式集が信頼度が高く評価されます。新たな数学公式集をつくるのは容易ではない原因の一つは間違い探しが大変だからということにもあるそうです。
投稿日時 - 2006-02-01 06:23:28
お礼
アドバイスありがとうございます。|(a,b)|≧Re(a,b)は、既知のものとして（証明なしで）使って良いんです よ ね・・？
投稿日時 - 2006-02-01 07:10:06
シュワルツの不等式｜a・b｜≦||a||||b||と
|a・b|≧Re(a・b)を併せれば
||a||||b||-Re(a・b)≧0ではありませんか？？
したがって三角不等式には、|a・b|≧Re(a・b)がいえれば十分なのです。
そして逆向きの不等号は成り立ちません。しつこいですが。
投稿日時 - 2006-01-31 20:59:52
補足
>|a・b|≧Re(a・b)を併せれば
その式は何でしょうか？|a・b|≧Re(a・b)ではなく|a・b|＝Re(a・b)が問題になっているんですけど。申し訳ありません。こちらこそしつこいですが。私、勉強不足ですね。本当にすみません。
投稿日時 - 2006-01-31 21:16:20
お礼
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2006-02-01 07:07:18
ちょっとムキになってますので、やや言葉遣いが悪くなりますが、ご容赦を。とにかく上記の等式が成立しないというのは間違いないと僕は思います。そういう意味では質問は締め切って、再度別途質問をするのがマナーだと思うのです。小言はこれでやめておきますが．．．
｜a・b｜≦||a||||b||を使って||a＋b||≦||a||＋||b||を導きます。
ただし||a||:=√(a・a)とおきます。
自分自身との内積が非負実数になることは既知とします。
(||a||＋||b||)^2-(||a＋b||)^2
=(a・a)+2||a||||b||+(b・b)-(a+b)・(a+b)
=(a・a)+2||a||||b||+(b・b)-(a・a)-(a・b)-(b・a)-(b・b)
=2(||a||||b||-{(a・b)+(b・a)}/2)
です。ここで(a・b)+(b・a)=2Re(a・b)より、
=2(||a||||b||-Re(a・b))≧0
です。したがって||・||は非負であることから三角不等式が従います。
投稿日時 - 2006-01-31 20:39:18
お礼
回答ありがとうございます。不躾ですみません。
その最後のところの2(||a||||b||-Re(a・b))あたりで、問題の等式を使わざるを得ないと思うんですが・・・
度々の回答ありがとうございます。
投稿日時 - 2006-01-31 20:52:20
A=||a+b||=√(a+b,a+b)=√[(a,a)+(a,b)+(b,a)+(b,b)]
B=||a||+||b||=√(a,a)+√(b,b)
二乗して引き算してください
B^2-A^2
= (a,a)+(b,b)+2√(a,a)√(b,b)
-[(a,a)+(a,b)+(b,a)+(b,b)]
=2√(a,a)√(b,b)-(a,b)-(b,a)
≧2√(a,a)√(b,b)-|(a,b)|-|(b,a)|
ここで|(a,b)|≧Re(a,b)を使いました。これが勘違いのところでしょう。最後の式はさらに
≧2√(a,a)√(b,b)-2√(a,a)√(b,b)＝0
終わり
投稿日時 - 2006-01-31 20:37:45
お礼
回答ありがとうございます？複素空間での内積で|a・b|＝Re(a・b)という式が成り立つのはどうしてかはわかりませんよね・・・？
投稿日時 - 2006-01-31 20:42:21
