• 締切済み

大学受験の問題を解いてください!

hitomuraの回答

  • hitomura
  • ベストアンサー率48% (325/664)
回答No.2

まず、議論を簡単にするため、以下の表記を使用します。 ・#(S):集合Uの部分集合Sの要素数 ・~C:Uに関するCの補集合 ・max(a,b):数値aおよびbのうち大きい値 すると、Uの部分集合RとSに対して以下の式が成り立ちます。 #(R∪S)=#(R)+#(S)-#(R∩S), …(1) #(~R)=#(U)-#(R) …(2) したがって、 #(R∪S)≦#(R)+#(S)、等号はR∩S=φのとき …(3) となります。 また、R⊃Sのとき、 #(R∪S)=#(R)+#(S)-#(R∩S)     =#(R)+#(S)-#(S)     =#(R) となります。S⊃Rのときも同様にして#(R∪S)=#(S)となります。ここで、R⊃Sなら#(R)≧#(S)ですし、S⊃Rなら#(S)≧#(R)ですから、 max(#(R),#(S))≦#(R∪S)、等号はR⊃SまたはS⊃Rのとき …(4) となります。 (3)と(4)を合わせて、 max(#(R),#(S))≦#(R∪S)=#(R)+#(S)-#(R∩S)≦#(R)+#(S) …(*) が出てきます。 ここで、以下に何回か登場する#(~C)の値をあらかじめ計算しておきます。 #(~C)=#(U)-#(C)    =100-38    =62 (a)(*)をnの場合に当てはめると、 (*)の左辺=max(#(B),#(~C))       =max(10,62)       =62、 (*)の右辺=#(B)+#(~C)       =10+62       =72 となります。(3)および(4)の等号条件が成り立つ可能性はありますので、 62≦n=#(B∪~C)≦72 となります。 (b)(*)をmのA∪Bの部分に当てはめると、 (*)の左辺=max(#(A),#(B))       =max(48,10)       =48、 (*)の右辺=#(A)+#(B)       =48+10       =58 となります。(3)および(4)の等号条件が成り立つ可能性はありますので、 48≦#(A∪B)≦58 となります。#(~C)=62ですから、#(A∪B)=48の場合でも#((A∪B)∩~C)は10未満になることはありません。 … ∵)#((A∪B)∩~C)<10と仮定すると、(1)より、  #((A∪B)∪~C)=#(A∪B)+#(~C)-#((A∪B)∩~C)≧48+62-#((A∪B)∩~C)>110-10=100  となり、集合Uの部分集合である(A∪B)∪~Cの要素数が集合Uの要素数よりも多くなるという矛盾が発生する。  この矛盾は#((A∪B)∩~C)<10として発生したため、背理法によって#((A∪B)∩~C)≧10となる。 一方、要素数の差から(A∪B)⊃~Cとはなりえませんが、~C⊃(A∪B)とはなりえます。この~C⊃(A∪B)のときが#((A∪B)∩~C)が最大になる場合で、この時は #((A∪B)∩~C)=#(A∪B)≦58 …(6) となります。 (5)と(6)を合わせると、 10≦m=#((A∪B)∩~C)≦58 となります。

関連するQ&A

  • この問題を解いてください!!

    生徒に、過去問題二年分を解いてくれと頼まれたのですが、この問題だけ解けません。解答がないので考え方も分かりません。 その問題とは、 『要素の個数が100である集合Uと、集合Uの部分集合A,B,Cを考える。集合A,B,Cの要素の個数は、それぞれ、48,10,38である。このとき、集合B∪(Cのバー)の要素の個数をnとすると、nの取りうる値は、□□≦n≦□□である。また、集合(A∪B)∩(Cのバー)の要素の個数をmとすると、mの取りうる値は、□□≦m≦□□である。ただし、(Cのバー)は、Uに関するCの補集合とする。』 という問題です。日本社会事業大学の問題だった気がします。出来だけ早急にお願いします。

  • 場合の数

    4つの数字1,2,3,4だけからなるn桁の自然数の集合をUとする (1)1が現れないUの要素の個数を求めよ (2)1,2,3の3個の数字のどれもが少なくとも1個あらわれるUの要素の個数を求めよ (1)3^n (2)1が現れる集合、2が現れる集合,3が現れる集合をA、B、CとするとA∩B∩Cの個数をもとめるんですよね?やり方教えてください

  • 集合の問題です

    mを自然数の定数とする。1から100までのすべての自然数の集合を全体集合Uとし、その部分集合をA、B、Cを次のように定義する。 A={x|xは偶数} B={x|xは3の倍数} C={m、m+2、m+4} (1)m=2とする。自然数nがCに属することは、nがAに属するための□条件 (2)mが奇数であることは、―(A∪B)∩Cの要素の個数が2であるための□条件 どなたかわかる方教えてください。宜しくお願いいたします。 ちなみに―(A∪B)はAまたはBでないと言う意味で表しました。

  • 二次方程式の問題

    次の問題の解答をお願いします。 α=2-m√3、β=2+m√3までは求められたのですが・・・。 [1]mは負でない整数とする。xについての2次方程式 x^2-4x-3m^2+4=0の2つの解を α、βとおく。α≦βであるとき、 α=ア-m√イ、β=ウ-m√エ であるから、 2次方程式 x^2-4x-3m^2+4=0が整数を解にもつとき、その整数の2つの解を α´、β´とおく。α´、β´が、α´^2+β´^2=32・・・・・・(1) をみたすとき、mとkとの間には カm^2-k=キ が成り立つ。 したがって、(1)をみたすmとkの値の組(m,k)は (m,k)=(ク,ケコ),(サ,シス) である。ただし、ク<サとする。 [2]Uを2桁の自然数全体の集合とし、その部分集合をA、Bを次のように定める。 A={x|xは3の倍数} B={x|xは7の倍数} 集合Xの要素の個数をn(X)で表すとき n(A∨B)=セソ n(¬A∧B)=タ n(A∨¬B)=チツ である。 また、集合(¬A¬∨¬B)∨(A∧B)をCとおく。 この集合Cと同じものを表す集合は、テとトであり、n(C)=ナニである。 テ、トについては、当てはまるものを 0~3 から一つずつ選べ。 0・・・(¬¬A¬∨¬¬B)∨(¬A∧¬B) 1・・・(¬A∧B)∧(A∨¬B) 2・・・(A∨¬B)∨(¬A∧B) 3・・・(¬A∨B)∧(A∨¬B) 0~3については、表記がわかりにくいため、画像を添付しました。

  • 数学AIの問題お願いいたします

    問1 U={x|xは整数.100≦x≦200}を全体集合とする。5で割り切れる数の集合をA.7で割り切れる数の集合をBとするとき.次の個数を求めよ。 (1) n(A) (2)n(A∩B) (3)n(A∪B) (4)n(A∩ ̄B)←Bの上に ̄をのせてください (5)n(A ̄∩B ̄)←AとBそれぞれの上に ̄をのせてください。 答えは (1)21個(2)3個(3)32個(4)18個(5)69個 答えはわかっているのですが、答えまでの道のりで困っています。よろしくお願いいたします。 問2 50人の生徒のうち、音楽の好きな生徒がx人で、スポーツの好きな生徒は音楽が好きな生徒より15人多い。また、音楽の好きな生徒のうち半数はスポーツも好きである。音楽、スポーツのどちらも好きでない生徒が5人であるとき、xの値を求めよ。 夜分に大変申しわけございません。m(_ _)m

  • 数学の問題が分からないので、教えてください!

    数学の問題が分からないので、教えてください! 自然数Nは30の倍数である。  U={xは1以上N以下の奇数}、  A={x∈U,xは3の倍数}  B={x∈U,xは5の倍数} とし、集合U,A,B,A∩Bの要素の個数をそれぞれUn、An、Cnと表す。 (1)Un,An,Bn,CnをNを用いて表せ。 (2)N以下の素数の個数をPnとするとき、不等式    Pn≦Un-An-Bn+Cn+2  を示せ。 (3) (2)のPnについて Pn/N≦1/3 を示せ。 (1)はなんとか解けそうなんですが、(2),(3)は全くだめで・・・。 解き方の過程も詳しく教えていただけたら嬉しいです。 お願いします(>_<)!

  • 線形代数の写像の問題です

    教科書の問題ですが、 「集合A,Bがそれぞれm,n個の元からなるとする。 1)AからBへの写像の個数を求めよ。 2)AからBへの単射の個数を求めよ。 3)AからBへの全単射の個数を求めよ。」 質問です。f:A→Bが写像なので、m個だと思いましたが、1)の答えはn^m、2)の答えはm≦nの時、nPm、3)の答えはm=nの時m!となっています。 どのように理解したらよいのか分かりません。 よろしくお願いします。

  • 赤チャートの集合の問題です。解説お願いします。

    正の整数nに対して、集合{1,2,...,n}の部分集合Mで条件m∈Mならば2m∉M を満たすものを考える。このような集合Mに対してMの要素の個数の取り得る 最大値をf(n)と表すとすると、nが4の倍数であるとき、 f(n)≧n/2 +f(n/4)が成り立つことを示せ。 という問題がまったくわかりません。解説お願いします。

  • 次の問題を解いて下さい

    I,1~15までの自然数の集合を全体集合Uとし、奇数全体の集合をA、5の倍数全体の集合をBとする。次の集合を要素を書き並べて表せ。 (1)A∩B (2)A∪B II,1~60までの自然数の集合を全体集合Uとし、5の倍数全体の集合をA、6の倍数全体の集合をBとする。次のものを求めよ。 (1)n(A) (2)n(Aのバー) (3)n(A∩B) (4)n(A∪B) 宜しくお願いします。

  • 行列の問題!

    すみません、、、どなたか以下の問題を解いて頂けませんか。 答えがないので、正直お手上げ状態です。 ヒントでも構いません、、、、宜しくお願いします。 ------------------------------------------------------------------ すべての実数からなる集合をRと表す。 行列を要素にもつ2つの集合M, Nを M = | | a b | a, b, c, d ∈ R |   .   | | c d |            | N = | | r -s | r, s ∈ R | ..  | | s r  .|        .| と定める。更に、Mの要素 A = | a b | に対し、 A' = | a c | とおく。  ....  | c d |          .| b d | (1) A, B ∈ N ならば、AB ∈ N であることを示せ。 (2) A, B ∈ N ならば、(AB)' = A'B' となることを示せ。   また、(CD)' ≠C'D' となる M の要素 C, D の組を一つ求めよ。 (3) N のすべての要素と交換可能な M の要素は、必ず N に属することを示せ。   ただし、行列 X と Y が交換可能であるとは、 XY = YX のこととする。 ------------------------------------------------------------------