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円筒関数について、、、

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お礼率 29% (24/82)

∫{ー∞~+∞}exp(-ax^2)dx を円筒関数を用いて
といていただきたいのです。
おそらく、X^2+Y^2=R^2を用いて
exp{-a(X^2+Y^2}から
exp{-ar^2}rdrとしてとくのだとおもうのですが、、、、
よろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

円筒関数を用いてではありませんが、あなたのヒントに従っての求め方です。

I=∫{-∞~+∞}exp(-ax^2)dx
I=∫{-∞~+∞}exp(-ay^2)dy
ゆえに、
I^2=∫∫{-∞~+∞}exp(-a(x^2+y^2))dxdy

x=rcosθ、y=rsinθと置くとdxdy=rdθdrで、
積分範囲は、θについて0から2π、rについて0から∞ですから
I^2=∫∫exp(-ar^2)rdθdr
  =∫{0~+∞}exp(-ar^2)rdr∫{0~2π}dθ
  =(1/2a)(2π)
  =π/a
I=√(π/a)

円筒関数というとBessel関数ですよね、反って難しいのではないでしょうか?
お礼コメント
ka-kunn

お礼率 29% (24/82)

さっそくのお返事本当にありがとうございます。
Bessel関数についてはならってはいないのですが、
教授がうるさいのもので、ついつい奥深くまで追求してしまいました。
本当にありがとうございました。
投稿日時 - 2001-12-27 03:53:30
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  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

どうやら,円筒関数というより,円筒座標あるいは2次元極座標を用いて, ということらしいですね. 円筒座標を使う方法はもう一つの ka-kunn さんの質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=190962 に答えた話の http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=185532 がまさにそれになっていますね. ...続きを読む
どうやら,円筒関数というより,円筒座標あるいは2次元極座標を用いて,
ということらしいですね.
円筒座標を使う方法はもう一つの ka-kunn さんの質問
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=190962
に答えた話の
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=185532
がまさにそれになっていますね.

せっかくですから,別法を書いておきます.
なんだか,回答が入れ違ったみたいになっちゃいましたがね.

a は変数変換で消せるから
(1)  I = ∫{0~∞} exp(-x^2) dx
が計算できればよい.
あとの正負分類の煩わしさを避けるため,積分区間を 0~∞ と半分にしている.
(2)  x = yz,  dx = z dy
とおいて
(3)  I = ∫{0~∞} z exp(-y^2 z^2) dy
また,
(4)  I = ∫{0~∞} exp(-z^2) dz
と書けるから,(3)(4)より
(5)  I^2 = ∫{0~∞} exp(-z^2) dz ∫{0~∞} z exp(-y^2 z^2) dy
      = ∫{0~∞} dy ∫{0~∞} z exp[-(1+y^2)z^2] dz
となり,(5)の z 積分は
(6)  ∫ z exp[-(1+y^2)z^2 dz = - exp[-(1+y^2)]/2(1+y^2)
と不定積分ができるので,
(7)  ∫{0~∞} z exp[-(1+y^2)z^2 dz = 1/2(1+y^2)
になる.したがって
(8)  I^2 = (1/2) ∫{0~∞} dy/(1+y^2)
だが,この不定積分は
(9)  ∫ dy/(1+y^2) = arctan y
なので,(8)は
(10)  I^2 = (1/2) ∫{0~∞} dy/(1+y^2) = π/4
と計算できる.よって
(11)  I = √π/2
あるいは
(12)  ∫{-∞~∞} exp(-x^2) dx = √π

この定積分(ガウス積分)はあちらこちらで出てくる有名な積分です.
結果が√πであることはぜひ記憶しておいてください.
お礼コメント
ka-kunn

お礼率 29% (24/82)

またもやすばやい回答に心から感謝申し上げます。
本当に助かりました。ありがとうございます。
またなにかあれば、助けていただきたいと思います。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-12-27 03:50:19


  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

積分の解法はもうじゅうぶんと思われるので、siegmundさんのおっしゃる、この積分のお話をほんの少し。(大学教養程度の確率のお話です) (1)ガンマ関数について、Γ(1/2)=√πです。 ∫{0~+∞}exp(-x^2)dx で x^2=y とおくと、 √π/2 = ∫{0~+∞}exp(-x^2)dx = ∫{0~+∞}exp(-y)*(1/2)y^(-1/2)dy = (1/2) Γ(1/ ...続きを読む
積分の解法はもうじゅうぶんと思われるので、siegmundさんのおっしゃる、この積分のお話をほんの少し。(大学教養程度の確率のお話です)

(1)ガンマ関数について、Γ(1/2)=√πです。
∫{0~+∞}exp(-x^2)dx で x^2=y とおくと、
√π/2 = ∫{0~+∞}exp(-x^2)dx = ∫{0~+∞}exp(-y)*(1/2)y^(-1/2)dy = (1/2) Γ(1/2)
(2)正規分布の確率密度関数f(x)=c*exp{-(x-μ)^2/(2σ^2)}の係数cが1/sqrt(2πσ^2)であることは、この積分を用いて直ちに示せますね。

これより高等なことは私にはわかんないですが。。。(汗)
お礼コメント
ka-kunn

お礼率 29% (24/82)

お返答とてもうれしかったです。
ありがとうございました。
これからも分からない事が多いと思いますので、
よろしくお願いします。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-12-28 00:00:55
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