- ベストアンサー
極座標表示
starfloraの回答
それはラプラシアンの極座標表示ですが、以下のＵＲＬに、式の導出計算の過程を一応一通り書いてありますが、結論は、提示されている公式の通りです。わたしは、そんな計算をすることは長らくしていないし、時間がかかるのも明らかなので、以下の参考ページを見て、どこで計算を間違えたのか、自分の計算ノートと比較して考えてみてください。 こういう膨大な計算の場合、よく間違いを犯します。（そんなに膨大でないのかも知れません。微分方程式の解で、もっと長々した計算が必要なものが一杯あったはずです（教科書では、この式を展開するとこうなる、と書いてあって、実際に検算してみると、２時間とか３時間とか、かかるとか）。
関連するQ&A
- 球面座標表示での計算
x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ と置いたとき以下のように計算するのですが θの部分微分のところで なぜrが分母にくるのかわかりません。 初歩的な計算だと思います。 どなたか、ご指摘くださる方よろしくお願いします。 ∂/∂x=∂/∂r・∂r/∂x＋∂/∂θ・∂θ/∂x＋∂/∂φ・∂φ/∂x ∂/∂y=∂/∂r・∂r/∂y＋∂/∂θ・∂θ/∂y＋∂/∂φ・∂φ/∂y ∂/∂z=∂/∂r・∂r/∂z＋∂/∂θ・∂θ/∂z＋∂/∂φ・∂φ/∂z r^2＝x^2＋y^2＋z^2 tanφ＝y/x tan^2θ＝(x^2＋y^2)/z^2 から ∂r/∂x＝sinθcosφ ∂r/∂y＝sinθsinφ ∂r/∂z＝cosθ ∂θ/∂x＝cosθcosφ/r ←ここ ∂θ/∂y＝cosθsinφ/r ←ここ ∂θ/∂z＝-sinθ/r ←ここ ∂φ/∂x＝-sinφ/rsinθ ∂φ/∂y＝cosφ/rsinθ ∂φ/∂z＝0 等が求まる。 ∂/∂x=sinθcosφ∂/∂r＋(cosθcosφ/r)∂/∂θー(sinφ/rsinθ)∂/∂φ ∂/∂y=sinθcosφ∂/∂r＋(cosθsinφ/r)∂/∂θ＋(cosφ/rsinθ)∂/∂φ ∂/∂z=cosθ∂/∂rー(sinθ/r)∂/∂θ これを ∇＝i∂/∂x＋j∂/∂y＋k∂/∂z に代入して求めます。 つぎの式も丹念に計算していくと ∇＾２＝∂^2/∂r^2＋(2/r)∂/∂r ＋(1/r^2sinθ)∂(sinθ∂/∂θ)/∂θ ＋(1/rsinθ)^2・∂^2/∂φ^2 注意深く計算して行って下さい。途中間違えたら台無しです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ラプラスの方程式球面座標表示
あるサイトを参考に次の様な流れでラプラスの方程式の球面座標表示を導きたいのですが 途中の式が間違っているのか、最終的な式が導けません。 特に下の3の手順で私の式のやり方が間違っているのかもしれません。 正しいかどうかご指摘くださる方、よろしくお願いします。 >は自分のコメントです。 r=r(x,y,z)，θ=θ(x,y,z)，φ=φ(x,y,z) x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ まず，これらの式から １．r^2，tanθ，tanφを計算． > r^2 = x^2 + y^2 + z^2 > tan^2θ = (x^2+y^2)/z^2 > tanφ = y/x ２．１を偏微分することによって∂r/∂x,∂r/∂y,∂r/∂z,∂θ/∂x,∂θ/∂y,∂θ/∂z,∂φ/∂x,∂φ/∂yをすべてx,y,zで表現．あとでこれらの２階偏微分も必要になるが． >∂r/∂x = sinθcosφ, ∂r/∂y = sinθsinφ, ∂r/∂z = cosθ >∂θ/∂x = (cosθcosφ)/r, ∂θ/∂y = (cosθsinφ)/r, ∂θ/∂z = -sinθ/r >∂φ/∂x = -sinφ/(r*sinθ), ∂φ/∂y = cosφ/(r*sinθ), ∂φ/∂z = 0 ３．∂/∂x＝∂/∂r・∂r/∂x＋∂/∂θ・∂θ/∂x＋∂/∂φ・∂φ/∂x これをさらに偏微分して∂^2/∂x^2を偏微分の記号で表現． ちょっとしんどいですがガッツ． 同様に∂^2/∂y^2，∂^2/∂z^2も計算． >この∂^2/∂x^2, ∂^2/∂y^2，∂^2/∂z^2は単純に >(∂/∂x)^2＝(∂/∂r・∂r/∂x＋∂/∂θ・∂θ/∂x＋∂/∂φ・∂φ/∂x)^2 >(y, z同様)と計算しては間違いでしょうか？ ４．∂^2/∂x^2＋∂^2/∂y^2＋∂^2/∂z^2を偏微分記号の表示のまままとめる． ５．２で求めたものを代入．すると意外に綺麗にまとめれるものが出てくる． >最終的に出た式 >∂^2/∂r^2+∂^2/(r^2∂θ^2)+∂^2/(r^2*sin^2θ∂φ) >求めたい式は >∂^2/∂r^2+2*∂/(r∂r)+∂^2/(r^2∂θ^2)+∂/(r^2*tanθ∂θ)+∂^2/(r^2*sin^2θ∂φ) >です。 >自分で導いた式と比べると、2*∂/(r∂r)+∂/(r^2*tanθ∂θ)が欠けています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 座標変換式についてです。
x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ r^2=x^2+y^2+z^2 これより、 ∂^2/∂x^2 +∂^2/∂y^2 +∂^2/∂z^2 の座標変換式を求めたいのですがどのようにして求めれば良いですか？導出方法お願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 極座標と直交座標
「極座標で表したときの(r,θ)=(√5+1,Π/10)なる点を直交座標(x,y)であらわせ。ただし、cos,sin,tanなどの三角関数記号を用いずにあらわすこと」という問題です。 がんばって解いてみました。 x=rcosθ,y=rsinθより、 x=(√5+1)cos(Π/10),y=(√5+1)sin(Π/10) ここでsin(Π/10)=(√5-1)/4 なので（計算済み） y=1 さらにcos(Π/10)=)=√(10+2√5)なので（これも計算済み） x=5√2+√(10√5)+√(10+2√5) ???? yはともかく、xはこんな変な値になってしまってよいのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- ラプラシアンの極座標表示について
化学系の学部にいるので数学は不得意なのですが，誰か教えて下さい。 ラプラシアンを2次元直交座標から2次元極座標に変換する場合 直交座標(x,y)，極座標(r,θ)とすると， x=rcosθ,y=rsinθ・・・(1)からδ/δx,δ/δyを求める時，参考書によると r^2=x^2+y^2，tanθ=y/x・・・(2) δ/δx=(δ/δr)(δr/δx)+(δ/δθ)(δθ/δx) δ/δy=(δ/δr)(δr/δy)+(δ/δθ)(δθ/δy)・・・(3) (2)をxで微分すると 2r(δr/δx)=2x=2rsinθ (1/(cosθ)^2)(δθ/δx)=-(y/x^2)=-(sinθ/r(cosθ)^2) より δr/δx=cosθ，δθ/δx=-(1/r)sinθ 同様に δr/δy=sinθ，δθ/δy=(1/r)cosθ 以上の関係を(3)に入れれば， δ/δx=cosθ(δ/δr)-(1/r)sinθ(δ/δθ) δ/δy=sinθ(δ/δr)+(1/r)cosθ(δ/δθ)となります。 これで，合っていいるのですが，初めて，私がこの問題を考えた時， (1)をそれぞれ，rとθで偏微分しました。 δr/δx=1/cosθ，δθ/δx=-(1/rsinθ) δr/δy=1/sinθ，δθ/δx=(1/rcosθ)となりsinθ，cosθの項が 正解と逆転してしまい，異なる結果となってしまいました。 私は，どちらの方法でも同じになると思っていたのですが， どうして，違うのですか誰か分かりやすく教えて下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極座標系における∇×Aの計算
直交座標系(x,y,z)を極座標系(r,θ,ψ)に変換すると x=rsinθcosψ y=rsinθsinψ z=rcosθ となりますよね。 これを用いて極座標系で∇×Ａを計算すると、 その演算結果は以下のようになるらしいのですが、 その導出過程が分かりません。最初の 1/r^2sinθはヤコビアンで補正をかけているような 気がするのですが、その他の項には1/rsinθや1/rが 出てきてこれらが何を表しているのかさっぱり？で、 やっぱり分かりません。宜しければ教えていただけないでしょうか？(第1行目の(^r),(^θ),(^ψ)はそれぞれの 方向の単位ベクトルです。)お願いいたします。 ∇×Ａ＝ ｜(^r)/r^2sinθ (^θ)/rsinθ (^ψ)/r ｜ ｜ ∂/∂r ∂/∂θ ∂/∂ψ ｜ ｜ A_r rA_θ rsinθA_ψ ｜
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ３次元の極座標について
x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ というのが３次元における極座標表示のようですが、なぜこのような式になるんですか？ このような式にいたるまでの過程を教えてください。 できるだけ分かりやすく教えてほしいので、行列などを使っての説明はできるだけしないでください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- tan^2θについて
x=rsinθcosΦ y=rsinθsinΦ z=rcosθ とします。 (x^2+y^2)/z^2=tan^2θ θ=tan^(-1)((x^2+y^2)^(1/2)/z) となっていました。 θ=tan^(-1)(-(x^2+y^2)^(1/2)/z) ということはありえないんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数