- ベストアンサー
固有値問題とは？
msndanceの回答
n,mがどこから出てきているのでしょうか。 おそらく、逆格子ベクトルから来ているとおもうのですが。 補足していただけないでしょうか。 実はわたしも、A,Bがスカラーであるにもかかわらず、 なぜ「対称行列」なんて言葉がでてくるのか疑問に思ったことがあります。 n,mがよくわからなくてなんともいえないけど、 BとAの左辺の積をなんらかのベクトルの内席の形で表わし, あらゆるAについて同じ式を何個か書き下すと 有限個の連立方程式になって、それが固有値問題、、というあらすじに なるはずです。 質問に書いてある式をもう少し工夫して,はじめて固有値問題になることは 間違いありません。 おそらくAは、波数ベクトルと逆格子ベクトルに依存すると思うのですが。 補足ねがいます。 あと実は、僕の方でもPB計算について疑問があって、教えてGOOで 質問をしています。asamakenさんも同じことをやっていると思うので, どうか僕の質問にも目を向けていただけないでしょうか。 お互い頑張りましょう。よろしくお願いします！！
関連するQ&A
- standard eigenvalue problem for a symmetric matrix
現在ある固有値問題に直面して困っています。 その問題はフォトニック結晶のバンド計算を行う時にでてくる式で、 ∞ ∞ Σ Σ B(n-n',m-m')A(n',m')=λA(n,m) n'=-∞ m'=-∞ というものです。和を有限の値で打ち切って数値計算で固有値を求めるというものです。 A、Bは共にある二次元フーリエ級数の係数になっており、A(n,m)=A(-n,-m)と実負で対称になっています。 なおBは既知の値です。 これは基本的な対称行列の固有値問題になっているらしいのですが、私にはよくわかりません。 どなたかこの式を数値計算で解く手引きをご教授ください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- a=b*b(mod p)の式におけるbの求め方
表題のとおり、 a=b^2(mod p) p = m * n の式において、m,n,p,aが既知の場合に、 bの計算方法を教えていただけないでしょうか？ よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- a(m).b(m).の一般式を教えてください。
a(2)=5n-6 (n=2.3.4.5. ~ ) a(3)=11n-13 (n=2.3.4.5 ~ ) a(4)=17n-20 (n=2.3.4.5. ~ ) a(m)= ? b(2)=7n-8 (n=2.3.4.5. ~ ) b(3)=13n-15 (n=2.3.4.5. ~ ) b(4)=19n-22 (n=2.3.4.5. ~ ) b(m)= ? a(m)とｂ(m)の一般式を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- a[0] = a[2m+1] = 0 ?
微分方程式の級数解の計算の途中から書きます： c=1のとき、 (c+1) * c * a[1] = 0 (1+1) * (1) * a[1] = 0 2 * a[1] = 0 a[1] = 0 (c+n+2)(c+n+1) * a[n+2] - a[n] = 0 (1+n+2)(1+n+1) * a[n+2] - a[n] = 0 (n+3)(n+2) * a[n+2] - a[n] = 0 (n+3)(n+2) * a[n+2] = a[n] a[n+2] = 1/(n+3)(n+2) * a[n] となる。すなわち、nが偶数2m(m=1,2,3,...)の場合、 a[n+2] = 1/(n+3)(n+2) * a[n] a[2m+2] = 1/(2m+3)(2m+2) * a[n] ：（略） a[n] = a[2m] = 1/(2m+1)! * a[0] となる。 また、nが奇数2m+1(m=1,2,3,...)の場合、 a[n] = a[2m+1] = 0 ←これが何故0になるのか分かりません となる。 ・・・と書いてあります。自分でやってみますと、 また、nが奇数2m+1(m=0,1,2,...)の場合、 ←まずは(m=0,1,2,...)から始めます a[n+2] = 1/(n+3)(n+2) * a[n] a[ (2m+1)+2 ] = 1/{ (2m+1)+3 }{ (2m+1)+2 } * a[2m+1] a[ (2m+2)+1 ] = 1/{ 2m+4 }{ (2m+2)+1 } * a[2m+2+1-2] a[ 2(m+1)+1 ] = 1/{ 2(m+2) }{ 2(m+1)+1 } * a[2(m+1)-1] ←まだ(m=0,1,2,...)です m=1を基準とすると a[ 2m+1 ] = 1/{ 2(m+1) }{ 2m+1 } * a[ 2m-1 ] ←これ以降は(m=1,2,3,...)です a[ 2m-1 ] = 1/[ 2{(m-1)+1} ]{ 2(m-1)+1 } * a[ 2(m-1)-1 ] a[ 2(m-1)-1 ] = 1/[ 2{(m-1)+1} ]{ 2(m-1)+1 } * a[ 2(m-1)-1 ] ： ： m=2: a[ 2(2)+1 ] = 1/[ 2{(2)+1} ]{ 2(2)+1 } * a[ 2(2)-1 ] a[ 4+1 ] = 1/[ 2{3} ]{ 4+1 } * a[ 4-1 ] a[ 5 ] = 1/{ 6 * 5 } * a[ 3 ] m=1: a[ 2(1)+1 ] = 1/[ 2{(1)+1} ]{ 2(1)+1 } * a[ 2(1)-1 ] a[ 2+1 ] = 1/[ 2{2} ]{ 3 } * a[ 2-1 ] a[ 3 ] = 1/{ 4 * 3 } * a[ 1 ] a[n] = a[2m+1] = 1/{ 2(m+1)(2m+1) * [ 2{(m-1)+1} ]{ 2(m-1)+1 } * ... * 4・3} * a[1] ・・・となって、a[n] = a[2m+1] = 0にはなりません。 どこかで間違えていますでしょうか？ もしそうであれば、どうか解き方を教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (Σa_n・x^n)^m
mを自然数として(Σ[n=0↑∞]a_n・x^n)^mが収束する場合にこれをべき級数で表した時のx^kの係数の計算の仕方がよくわかりません。a_nやxは実数とします。 Σ[n=0↑∞]Σ[n=n_1+n_2+…+n_m]a_n_1・a_n_2・…・a_n_m・x^nとして a_n_1・a_n_2・…・a_n_m=a_0^i_0・a_1^i_1・…・a_j^i_j・… と表すと有限個のjについてi_j>0でΣ[j=0↑∞]i_j=mであってnを固定するとこの係数をもつ項がm!/(i_1!・i_2!・…・i_n!)個あると考えればいいのかと思ったのですがこの推論は間違っているようです。 別のやり方としてx=0でのk次微分係数を計算してk!で割ればいいと思ったのですが具体的な計算ができませんでした。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)の基本対称式での表し方
対称式 (a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)=a^n+a^(n-1)b+…+ab^(n-1)+b^n を基本対称式a+bとabを用いて表すことを考えました。 色々と実験してみたところ Σ{i=0 to n/2}(-1)^iC(n-i,i)(ab)^i(a+b)^(n-2i) という形で表されるらしいことが分かりました。 ここで、C(n-i,i)は二項係数です。 しかし、どうにも証明ができません。 どなたが、証明の方法をご教授頂ければ幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式を誰か教えてください
今、漸化式の問題を解いているのですがどうしても分からない問題があるので教えてください。 問題は a(1)=(1/3),【3＾(n-1)】a(n＋1)=【3＾n】a(n)＋1(n=1,2,3,…）で定められる数列{a(n)}の初項から第n項までの和をS(n)とする。 このとき、lim【n→∞】S(n)の値は3/4で求めかたが分かりませんので、所々教えてください。 時間があるかた教えていただければ幸いです。 この問題を解くにはb(n)＝【3＾n】a(n)とすると漸化式が求められるそうなのですが (1) b(n＋1)=b(n)＋1になるのでしょうか？ 【3＾(n-1)】a(n＋1)はb(n＋1)になってしまうの？ (2) b(1)=3*((1/3)=1になってしまうの？ (3) b(n)=1＋(n-1)*1=nの式はどこから現われたのか？ (4) a(n)=【n/(3＾n)】とSn=Σ(n,k=1) 【k/(3＾k)】は何処から現れたのか？ (5) S(n)-(1/3)*S(n)は何処から現われたのか？ (6) ↑を計算すると(1/3)＋(1/3＾2)＋…＋(1/3＾n)-【n/(3＾(n＋1)】 となりますが、どうしてΣ(n,k=1)【n/(3＾(n＋1)】となるのでしょうか？ (7) （【(1/3)*{1-(1/3)n}】/【1-(1/3)】） －n/【3＾(n＋1)】は何処から現われたのでしょうか？ ↑を計算すると(1/2)*【1-(1/3)n】－n/【3＾(n＋1)】となります。 Ｓ(n)=(3/4)*【【1-(1/3)n】】-(3/2)*n/【3＾(n＋1)】の形にどうしてなるのか分かりません。 (8) ↑の式は(1/3)nのnに∞を代入して0,【3＾(n＋1)】のnの部分に代入して0になって3/4となるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ★☆ 固有値の求め方 ☆★
以下の対称行列の固有値が求められません。aとbは実数です。 det(λE-A)を計算すると、見にくいですが・・ -3λb^2+3ab^2+λ^3-3aλ^2+3λa^2-a^3-2b^3 になりました。なんとかしてこれが０になるようなλの値を見つけたいのですが、うまくいきません。 高校のときにならった剰余の定理（だったかな？）で上の式を割り切れる多項式をみつけて、とりあえず二つの式の掛け算に変えてみようと思いました。そこで、上の式に実数(a、b、-a、-b)を代入してみたんですけど０にできなくて・・。この式は割り切れないのでしょうか・・ どうすればdet(λE-A)＝０のλを見つけられますか？ もしかして、対称行列の固有値を求めるときは他の簡単な方法があったりするんでしょうか！？ (a b b) (b a b) (b b a) よろしくお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 級数の極限値
次の級数の極限値について、求め方を教えてください。 lim{x→+0,y→1-0}Σ{n=0,∞}y^n*sin((2n+1)x)/(2n+1) 値は x と y の近づき方によって変わるようです。 sin(a)≒a とみなし 与式≒lim{x→+0,y→1-0}Σ{n=0,∞}y^n*x =lim{x→+0,y→1-0}x/(1-y) となるかと思ったのですが、与式を計算してみると x/(1-y)=1 の時の値は 0.55 位でした。 ※その計算が間違いという可能性もあります。 正しい求め方はどうするのでしょうか？ なお、与式=0.5 とした時の x と y の関係を求めるのが最終目的なんです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
ご回答ありがとうございます。 僕が今フォトニックバンド計算をするために参考にしているのは、平面波展開法のM.Plihal、A.A.Maradudinの論文です。 今回の質問ではかなり簡略して書きましたが、実際の式は、磁場と誘電率のフーリエ展開 1/ε = Σ κ(G)exp(iG・r) G Hz = Σ A(G)exp(i(k+G)・r) G をHに関するマスター方程式に代入して、 Σ (k+G)・(K+G')κ(G-G')A(G')=(ω^2/c^2)A(G) G' を得ます。k、Gはそれぞれ波数ベクトルと逆格子ベクトルです。 今考えているのは二次元正方格子の場合ですので、 r=(x,y) k=(k1,k2) G=(G1,G2) G1=(2π/a)n、 G2=(2π/a)m G'=(G1',G2') G1'=(2π/a)n'、 G2'=(2π/a)m' としています。 いろいろ書き出したりしているのですが、なにぶん複雑でなかなか思うようにいきません。msndanceさんはどのような方法で計算しているのですか？もし同じ方法でしたら、厚かましいようですが教えていただけたらと思います。 msndanceさんの質問は以前から見ていましたが、残念ながらまだまだ勉強不足ですのでわかりません。 固体物理やJ D.Joannopoulosさんの本などを読んで勉強しているのですがまだまだです。