こちらの問題も教えてください（因数分解）

質問

すみません・・・(_ _。)
先ほど、質問したものですが
勉強していたら、また、つまづいて
わからない問題が出てきました。
こちらの問題も教えていただきたい
と思って、カキコしました。
よろしくお願いします。

問題
x-y=5のとき、2分の１（x^2+y^2)-xyの値を求めよ。

答え
2分の1（x^2-2xy+y^2)=2分の1（x-y)^2=2分の1×5＾2×=2分の25

疑問点
すみませんが、すべて疑問です。
答えを見て、どうしてこんな解答に結びつくのか
見当もつきません。
困っています。教えてください。

※^2というのは、二乗（2乗）のことです。
わかりにくくてごめんなさい(_ _。)

回答No.3

kenchin · ベストアンサー

因数分解の有名な形として
　(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
と云う形がありますよね。
この問題は、元の式をその形にするんです。

□
1/2(x^2+y^2)のカッコの中だけを見ます。
すると、あとは"-2xy"があれば(x-y)^2の形に出来る
なぁ～っと想像できます。
そこで、もう一度、式全体を見ると、後半にxyが転が
っています。

なら、あとは、このxyをどうやってカッコの中に入れ
るか.....だけが問題。

で、式全体を少し変形してみると
　1/2(x^2+y^2)-1/2*2xy
ってなりますよね。

ここまで来れば簡単。
前半と後半を1/2でくくってやって、1/2(x^2-2xy+y^2）
となりますから、更にこれを変形して1/2(x-y)^2が
完成します。

で、最後にx-y=5を上の式に代入すると。

□
参考までに、拙い私の経験ですが....。
因数分解が上手くなる基礎は
　１．多くの問題を解き、カンを養う。
　　　　難しい問題を解くのも良いですが、パパッ
　　　　っと閃く様な物を多く解く方がよろしいようで。
　２．段階を細かく追う。
　　　　カンが出来た後は一目で解けるようになるんで
　　　　すが、最初は段階を追って、細かく書き留めて
　　　　解いていく方がよろしいようです。
　　　　ケアレスミスの防止と、解き方の流れという
　　　　ものが身につくようです。
という辺りに有りそうです。
（他にも色々あるでしょうけども.....）

補足

もとの式の
-xyはどこに行っちゃったんでしょうか？
そこがわからなくて
困っています。
もし、お時間があったら
教えてください。

因数分解について
勉強の方法を教えていただき
ありがとうございました（笑）
カンが養えるように
これからも頑張ります！！

回答No.5

starflora

これは、暗算で答えがでるというか、見ると答えがでるのですが、回答の手順として：

　　＞x-y=5 の時の　2分の１（x^2+y^2)-xy

　　先の問題で、因数分解は基本的に解けると言いました。また複雑な式の場合、ある数を代入してみるとよいとも言いました。変数が二つある場合は、x=y とか、x=y-1 とか x=2y とか代入してみます。すると、2分の１（x^2+y^2)-xy は、x^2+x^2)/2-x^2 で、これはゼロになります。だから、(x-y)という因数で分解できるのです。

　　しかし、それは置いておいて、２分の１とかが邪魔なのです。分数になっていますから。こういう場合、全体に２を掛けるのです。（あとで、全体を２で割れば同じことになるからです）。そこで２を掛けると、（x^2+y^2)-2xy となります。ここで、丸括弧は外してもよいはずです。

　　すると、x^2+y^2-2xy となります。これは、公式で、(x-y)^2 を展開した形なので、＝(x-y)^2 としてもよいのですが、ここで、x=y というのを試みると、ゼロになるので、(x-y) で因数分解できることになります。

　　すると、(x-y)(x+?y+?) となります。この後の ? はゼロです。何か数があると、?x とか、-?y が出てきますが、そんなのは x^2+y^2-2xy にないからです。前の ? は、y^2 にならなければならないので、-y に ?y をかけて y^2 とは、?y は、-y でないとおかしいです。すると、(x-y)(x-y)となります。これを展開すると、x^2+y^2-2xy になりますから、これが答えです。

　　最初に２を掛けましたから、戻すため、全体を２で割ります。答えは、((x-y)^2)/2 です。x-y=5ですから、(5^2)/2で、２５の２分の１になります。

　　これは、
　　(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
　　(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
　　という公式を覚えておかねばなりません。基本公式です。

　　(x+y)(x-y)=x^2-y^2 も基本公式です。
　　これらの公式は、計算すると出てきますが、しょっちゅう因数分解の問題では出てくる式で、覚える方が速く解けるのです。

お礼

親切な説明
ありがとうございました。
ただ、私の頭では
完全に理解できませんでした。
ちょっと
残念ですが
頑張ります（笑）

先ほどに続き
教えてくださり
ありがとうございました(⌒-⌒)

回答No.4

128yen

私も訂正が。。。一行目は =(x^2+y^2)/2 + xy ではなくて

=(x^2+y^2)/2 - xy でしたね。。。

ついでだから一行目と二行目の間の計算も丁寧に書いておきます。

=(x^2+y^2)/2 - 2xy/2

分子=x^2+y^2-2xy、分母=2

分子=x^2-2xy+y^2
=(x-y)^2

なんかますますわかりにくくなってるような。。。

お礼

ちょっと、頭が混乱してきました・・・（涙）
さっきからずっと考えているのですが
この問題に関しては
まだ、理解できていません。
でも、頑張ります！！
どうも、ありがとうございました(⌒-⌒)

回答No.2

128yen

=(x^2+y^2)/2 + xy ---因数分解するときは分母を揃えないと難しくなります

=(x^2+y^2-2xy)/2 → 分母を２で統一すると分子が綺麗な形になります。

=(x-y)^2/2 → x^2+y^2-2xy = (x-y)^2 ってのを使っています。

ここでx-y=5だから、代入すると25/2が得られます。

こういう問題のコツは、x-y という項がどこかに出てくるのでそれを見つけることですね。問題を解いていくうちにこういうのがすぐに見つかると思いますよ。

お礼

もとの式の
-xyがどこにいってしまったのか
わかりません。
頭が悪くてすみませんでした。

問題をたくさん解いて
コツが早くつかめるように頑張ります♪

回答No.1

shu666

x-y=5 ｙを移行して　ｘ＝5+ｙ
この式を2分の１（x^2+y^2)-xyに当てはめると
1/2（（5+ｙ）＾2+ｙ＾2）-（5+ｙ）ｙ
＝1/2（ｙ＾2+10ｙ+25+ｙ＾2）-5ｙ-ｙ＾2
＝1/2（2ｙ＾2+10ｙ+25）-5ｙ-ｙ＾2
＝ｙ＾2+5ｙ+25/2-5ｙ-ｙ＾2
＝25/2
どうでしょう。

お礼

x-y=5　yを移行すると
-y=5-x
y=-5+x
にならないでしょうか？

ちょっと解答をくださった
やり方では、私は、理解できません
でした。
ごめんなさい(_ _。)
ありがとうございました。