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回転系と慣性系
回転系の問題を解いているうちに、どうしても分からない矛盾に出くわしました。 元々は複雑な問題だったのですが、疑問点以外の要素を捨象したところ、 次のような問題に帰着されるようです。 慣性系に対して角速度ωで回転する系において、回転中心から初速ゼロで半径方向に一直線に遠ざかって行く物体があるとします(このような運動を起こすためには適切な外力を加えなければならないでしょう)。ある時刻において物体が中心からrの距離に到達し、その速度が半径方向外向きにvとなったとき、この瞬間までに外力が物体に対してなした仕事Wを求めることを考えます。 物体の運動エネルギーは0から(mv^2)/2に増加し、これは外力と遠心力とがそれぞれ物体に与えた仕事の和に等しいはずです。遠心力は正の仕事 ∫(0からrまで)mxω^2dx = {m(rω)^2}/2 を与えるので次の式が成り立ちます。 (mv^2)/2 = {m(rω)^2}/2 + W これよりW = m{v^2 - (rω)^2}/2となります。 次に、この議論を慣性系において行ってみます。運動の終点で物体は半径方向外向きにv、接線方向にrωの成分を持つ速度を有しています。したがって運動エネルギーは m{v^2 + (rω)^2}/2となり、これが外力のなした仕事に等しいので、 W = m{v^2 + (rω)^2}/2 となってしまい、先ほどの回転系で得られた結果と一致しません。 一体どこが間違っているのでしょうか。
- zabuzaburo
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遠心力だけで運動する物体を考えてみましょう。例えば、回転する座標軸 を剛体の細い棒とみなして、それに滑らかに串刺しされた団子を考えます。 スタートは回転中心からにはできませんが、ほんのわずか団子をずらして やれば、棒を滑っていくはずです。 これを慣性系から見れば、棒が団子を押す力が外力です。力の方向は棒に 垂直です。この外力は仕事を行って団子に運動エネルギーを与えます。 さて、回転する棒に張り付いた回転座標系で見てみましょう。角速度が 一定の場合、団子にかかる力は以下の通りです。 回転系から見た力＝ 慣性系から見た外力 ＋ コリオリの力 ＋ 遠心力 最初に「遠心力だけ」という言葉を使いました。「慣性系から見た外力」 と「コリオリの力」が相殺されているということですね。 慣性形から見た外力とコリオリの力は団子の進行方向に垂直に働きます から仕事はしません。遠心力だけが仕事をして団子に運動エネルギーを 与えることになります。 以上の話が解決の糸口になると思いますが、いかかでしょうか。
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- stomachman
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おおお、符号をチョンボしていましたか。どうもすいません。 さて、そうしますと具体的にどんな外力が加わったかは明らかになった訳ですから、仕事の問題も解決したも同然ってことですね。 お邪魔いたしました。
お礼
いつも質問にお付き合い下さってありがとうございます。極座標や回転系は今まで避けて通ってきたのですが、これを機に徹底的に理解することができました。
- stomachman
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やっちまいました。 θ'=ωを入れ忘れてました。すると、 「一定角速度ωで回転する串から団子が受ける力が、常に円周の接線方向を向いている。」は ((ω^2)r-r'')cos(2ωt)+(2ωr')sin(2ωt)=0 になるように思います。 つまり r''=(ω^2)r+(2ωr') tan(2ωt) これだと、やっぱり90°回ると吹っ飛んでしまうような… じゃあ、単純なところで、慣性系の直交座標でもやってみましょう。 団子の位置<x,y>=<r cos(ωt), r sin(ωt)> 団子の速度<x',y'>= <r' cos(ωt)-ωr sin(ωt), r' sin(ωt)+ωr cos(ωt)> 団子の加速度<x'',y''>=<(r''-(ω^2)r) cos(ωt)-2ωr' sin(ωt), (r''-(ω^2)r)sin(ωt)+2ωr' cos(ωt)> んでもって、加速度は円周の接線方向を向いているのだから、 x''cos(ωt) = y'' sin(ωt) よって、 (r''-(ω^2)r) (cos(ωt))^2-2ωr' sin(ωt)cos(ωt)= (r''-(ω^2)r)(sin(ωt))^2+2ωr' sin(ωt)cos(ωt) (r''-(ω^2)r)( (cos(ωt))^2-(sin(ωt))^2)-4ωr' sin(ωt)cos(ωt)=0 (r''-(ω^2)r) cos(2ωt)-2ωr' sin(2ωt)=0 あれれ、同じになっちゃった。 うーむ。分からなくなってしまいました。 ご質問に回答する以前のところで躓いてしまってますね。とほほ。
補足
加速度が円周の接線方向に生じるという条件は x''cos(ωt) = y'' sin(ωt) ではなくて、 (x, y)・(cos(ωt), sin(ωt)) = 0 (内積ゼロ) すなわち x''cos(ωt) = - y'' sin(ωt) なのではないでしょうか。これで計算すると r'' - (ω^2)r = 0 となって、めでたく redbean さんの式と一致しますね。
- redbean
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90°で無限遠ですか？ 慣性系の極座標表示で運動方程式を書いてみると、 θ'=ω,θ''=0 だから．．． m(r''-r(θ')^2)=F_r=0 2mr'θ'=F_θ 第２式は単にこの運動に必要な力を説明しているだけ なので無視して、 r''=r ω^2 これを解いて r(t)=a exp(ωt) + b exp(-ωt) （ r(0)>0, r'(0)=0 ならば a,b>0 かな？） となって、有限時間では有限の範囲におさまるのでは？
- stomachman
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直接の回答ではありませんが… 運動方程式を作ってみたら、こんな風になりましたよ。 摩擦のない串に刺さった団子の、回転中心からの距離をr(t), 回転する串の各速度をωとするとき、 (r-r'')cos(2ωt)+2r' sin(2ωt)=0 ここにプライム(')はtによる微分です。書き換えれば r+2r' tan(2ωt)=r'' ということになるから、r(0)=0, r'(0)>0で出発しようが、r(0)>0, r'(0)=0で出発しようが、串が90°回るとrは無限遠にまで吹っ飛んでしまうという結論になります。 面白いです。（が、ほんまかいな？計算間違いの常習犯なもので。）
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お礼
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