再びスイマセンガ、今度は複素数についてお願いします。

質問

x^3-2(a+1)x^2+bx-b-8=0・・・(1)がある。
これは（x+2)(x^2-2ax+4a+8)=0∴x=2,a±√a^2-4a-8

ここまではいいのですが、

(1)が虚数解をもち、複素数平面上でその三つの解の表す点が一直線上に並ぶのは、
a^2-4a-8<0かつa=2即ちa=2のときである。

この複素数平面上でその三つの解の表す点が一直線上に並ぶ条件の求め方が分かりません。どうすればよいのですか？

回答No.2

hiropi- · ベストアンサー

ども～
虚数解を持つということは、根号内が負であればよいのでa^2-4a-8<0です
さらに、３つの解が一直線に並ぶのは、虚数解が第１象限と第４象限に存在しているため、実数解のX＝２が実軸上なのでX＝２の線上に虚数解が来ないといけません。つまり、X＝a±√a^2-4a-8の実部である「ａ」が２でなければなりませんね？ですから、答えが「a^2-4a-8<0かつa=2」なのです。

お礼

本当に有難うございました。第１象限と第４象限に在ることにきずきませんでした。これでようやくわかりました。本当にありがとうございました。

回答No.1

siegmund

実数係数の３次方程式ですから，
３個の実数解
あるいは，
１個の実数解と２個の複素解(互いに複素共役)
のどちらかですね．

すでに解かれていますように
x=2,a±√{a^2-4a-8}
で，複素解になりうるのは２番目の a±√{a^2-4a-8} です．
複素共役ですから実数部は等しいわけで，
複素解２つを結ぶ直線は z=a，すなわち虚軸に平行な直線です．
この上に x=2 がないといけませんから，a=2 が必要です．
あとは，a=2 のときに本当に複素解になっているかどうかのチェックが必要で，
それは平方根の中身に a=2 を入れて負になっていることで確認できます．

お礼

早い解答有難うございます。x=a±√{a^2-4a-8が共役の複素数になることに、
きずきませんでした。これで、ようやくわかりました。ホントに有難うございました。