バネの単振動と電気振動の関係について

質問

「単振動の強制振動における変位は、ＬＣＲ直列共振回路に電圧源を接続したときのＣの両端に現れる電圧に対応する」
というのは本当ですか？
どのように証明したらいいのでしょうか。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

本当です．
ただし，単振動の方にちょっと注意が要ります(後述)．

ＬＣＲ直列共振回路に交流電圧源 V_0 sin ωt を接続したときの回路の微分方程式は
(1)　　L d^2 Q/dt^2 + R dQ/dt + Q/C = V_0 sin ωt
です．
コンデンサーの両端の電圧を V_c としますと V_c = Q/C ですから，
(2)　　LC d^2 V_c/dt^2 + RC d V_c/dt + V_c = V_0 sin ωt
が V_c を支配する微分方程式です．

一方，単振動する物体(質量 m，ばね定数 k，変位 x)に，
速度に比例する抵抗 γv = γ dx/dtがあって，
それに外部から力 F_0 sin ωt をかけた場合の運動方程式は
(3)　　m d^2 x/dt^2 + γ dx/dt + kx = F_0 sin ωt
です．

(2)(3)は全く同型の微分方程式ですから，
解の振る舞いも全く同一です
(もちろん，初期条件を対応関係で同じように取って)．
両者の間で，何と何とが対応するかは(2)(3)を比べれば明らかでしょう．

いずれも，大学理工系１年次程度の内容で，
共振回路の方は電磁気関係のテキスト，
単振動の方は力学関係にテキストに，
たいてい載っています．

お礼

丁寧な説明有難う御座いました！