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バネの単振動と電気振動の関係について

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お礼率 100% (1/1)

「単振動の強制振動における変位は、LCR直列共振回路に電圧源を接続したときのCの両端に現れる電圧に対応する」
というのは本当ですか?
どのように証明したらいいのでしょうか。
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レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

本当です.
ただし,単振動の方にちょっと注意が要ります(後述).

LCR直列共振回路に交流電圧源 V_0 sin ωt を接続したときの回路の微分方程式は
(1)  L d^2 Q/dt^2 + R dQ/dt + Q/C = V_0 sin ωt
です.
コンデンサーの両端の電圧を V_c としますと V_c = Q/C ですから,
(2)  LC d^2 V_c/dt^2 + RC d V_c/dt + V_c = V_0 sin ωt
が V_c を支配する微分方程式です.

一方,単振動する物体(質量 m,ばね定数 k,変位 x)に,
速度に比例する抵抗 γv = γ dx/dtがあって,
それに外部から力 F_0 sin ωt をかけた場合の運動方程式は
(3)  m d^2 x/dt^2 + γ dx/dt + kx = F_0 sin ωt
です.

(2)(3)は全く同型の微分方程式ですから,
解の振る舞いも全く同一です
(もちろん,初期条件を対応関係で同じように取って).
両者の間で,何と何とが対応するかは(2)(3)を比べれば明らかでしょう.

いずれも,大学理工系1年次程度の内容で,
共振回路の方は電磁気関係のテキスト,
単振動の方は力学関係にテキストに,
たいてい載っています.
お礼コメント
-sophia-

お礼率 100% (1/1)

丁寧な説明有難う御座いました!
投稿日時 - 2001-12-10 17:06:01
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