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数列の解法

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お礼率 8% (42/518)

Sn=n(95-3n)/2の時、Tn=Σ(k=1~n)SkとTnは、n=『 』の時、最大値『 』をとる。

という問いで、まず Tn=Σ(k=1~n)Sk を解いた時にできるnの方程式の最大値
の自然数が答えになると思って解いてみたところ、√がでてきてかなりややこしくなりました。なにかいい解答の仕方がありませんか?教えてください。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 28% (61/214)

Σn(95-3n)/2
について、
(Σn(95n-3))*1/2
=(95/2)Σn^2-(3/2)Σn
となりますね。分けて考えると・・
シグマの公式から、二分の一をまず外に出して考えると、
(1/2)[(95/2)n(n+1)-(3/6)n(n+1)(2n+1)]
これを因数分解します。
(1/4)[n(n+1)(95-2n+1)]
=(1/4)[n(n+1)(96-2n)]
ここで、カッコの中について考えればOKですね。

ちなみに参考URL、公式の憶え方参考にしてください。
お礼コメント
vikkyi

お礼率 8% (42/518)

有難うございました。カッコの中だけ計算すればよい、というエレガント!?な解き方を教えてくださって有難うございました。私が思うには、自分は計算ミスをただしていたと思います。今後、それをなくしていきたいと思います。
投稿日時 - 2001-12-09 01:32:39
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 28% (61/214)

#1です。 続きを・・ 括弧の中について、展開すると -2n^3+94n^2+96であります。 これの最大値と最小値を求めるには微分して0とおきます。 微分すると、 -6n^2+188n となるので、これを0とおくと -6n^2+188n=0 3n^2-94n=0 3n(n-94/3)=0 n=0、94/3 が解となります。ただし、nは2より大きい整数のはずですね。 なので、これ ...続きを読む
#1です。
続きを・・
括弧の中について、展開すると
-2n^3+94n^2+96であります。
これの最大値と最小値を求めるには微分して0とおきます。
微分すると、
-6n^2+188n
となるので、これを0とおくと
-6n^2+188n=0
3n^2-94n=0
3n(n-94/3)=0
n=0、94/3
が解となります。ただし、nは2より大きい整数のはずですね。
なので、これに近い自然数すなわち、31(=93/3)が解となると考えられます。
このときの答は8432ですね。
お礼コメント
vikkyi

お礼率 8% (42/518)

有難うございました。私は計算ミスをしていたことにきずきました。
今後、計算ミスをしないように慎重に解きたいと思うます。
投稿日時 - 2001-12-09 01:29:19


  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

最大値をとるnの出し方のほうがわかっていなさげですね。 これはアイデアがあったかどうかにつきます。 つまり、S_kが正か負かを考えればよいということです。 ヒントはT_k - T_{k-1} = S_k となることです。 ぶっちゃけてしまうと、自然数kに対して、k<=31ならばS_k>0, K>=32ならばS_k<0なので、 31個目まで足してもT_nはどんどん増えて ...続きを読む
最大値をとるnの出し方のほうがわかっていなさげですね。
これはアイデアがあったかどうかにつきます。
つまり、S_kが正か負かを考えればよいということです。
ヒントはT_k - T_{k-1} = S_k となることです。

ぶっちゃけてしまうと、自然数kに対して、k<=31ならばS_k>0, K>=32ならばS_k<0なので、
31個目まで足してもT_nはどんどん増えていきますけど、32個目以上のものを足していくと、T_nはどんどん減ってしまう。だから31個目まで足すことにしよう・・・という寸法です。

おそらくvikkyiさんの考え方は、T_nを計算して微分して・・・とやったんだろうと思います。それはもちろん考え方としてひとつも間違っていないんですが、他にも方法があるということで。(微分ではなくて「差分」を考えてるということになります。高校の教科書上、差分という言葉は出ないだろうし、あまり意識していないかもしれませんが、よくやる手法です。[あとは隣接2項間の比をとるとか])

#ちなみにnの「方程式」というのは間違いですね。nが連続の値をとると仮定して、「関数」の極大値(定義域が正の範囲における最大値)を求めようとした、ということでしょう。
  • 回答No.4
レベル14

ベストアンサー率 83% (1169/1405)

kony0さんのご回答にもありますように、数列の和の最大・最小を求めるにはこんな方法もあります。 Tnを最大にするnの値をiと置いてみます。 その上でTi-T(i+1)と、Ti-T(i-1)を作ってみます。 iを一つ増やした/減らしたときにTnの値が増えるか減るかを調べるわけです。もしn=iでTnが極大なら、Ti-T(i+1)、Ti-T(i-1)とも正の値になるのはすぐにお分かり頂けると思います ...続きを読む
kony0さんのご回答にもありますように、数列の和の最大・最小を求めるにはこんな方法もあります。

Tnを最大にするnの値をiと置いてみます。
その上でTi-T(i+1)と、Ti-T(i-1)を作ってみます。
iを一つ増やした/減らしたときにTnの値が増えるか減るかを調べるわけです。もしn=iでTnが極大なら、Ti-T(i+1)、Ti-T(i-1)とも正の値になるのはすぐにお分かり頂けると思います。(iが最初の条件を満たさなければ、Ti-T(i+1)、Ti-T(i-1)のどちらかは負の値となる)

さっそく式を作ってみると
 Ti-T(i+1)=-(i+1)(95-3i-3)/2  (1)
 Ti-T(i-1)=i(95-3i)/2  (2)
となります。(うち消せない最後の1項が残るだけですが)
(1)>0, (2)>0とおいて、連立させて不等式を解けばよいわけです。(両方とも本質的に同じ方程式ですが)
(2)から 0<i<95/3 と求められます。
(1)は i<-1または92/3<i と出てきます。
両方を満たす正整数iは31しかありませんから、n=31で極大になるはずです。

さて、ここまででは、n=31でTnが「極大」であることしか言えません。最大であることまで言うには(1)が1≦i<31で常に負であること(すなわち、Tnがnに対し単調増加)、(2)が31<iで常に負であること(すなわち、Tnがnに対し単調減少)であることを補足しなければなりません。
これらは式(1)(2)を見ればほとんど自明ですから証明はいりませんが、一言書く必要はあります。

*計算間違いをしているかも知れませんので、式をご自身でチェックしながら読んでいただければ幸いです。
お礼コメント
vikkyi

お礼率 8% (42/518)

有難うございます。別解の仕方がよくわかりました。本当に有難うございまいた。
投稿日時 - 2001-12-09 01:27:09
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