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数列の解法

Sn=n(95-3n)/2の時、Tn=Σ(k=1~n)SkとTnは、n=『 』の時、最大値『 』をとる。 という問いで、まず Tn=Σ(k=1~n)Sk を解いた時にできるnの方程式の最大値 の自然数が答えになると思って解いてみたところ、√がでてきてかなりややこしくなりました。なにかいい解答の仕方がありませんか?教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

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  • NyaoT1980
  • ベストアンサー率28% (61/214)
回答No.1

Σn(95-3n)/2 について、 (Σn(95n-3))*1/2 =(95/2)Σn^2-(3/2)Σn となりますね。分けて考えると・・ シグマの公式から、二分の一をまず外に出して考えると、 (1/2)[(95/2)n(n+1)-(3/6)n(n+1)(2n+1)] これを因数分解します。 (1/4)[n(n+1)(95-2n+1)] =(1/4)[n(n+1)(96-2n)] ここで、カッコの中について考えればOKですね。 ちなみに参考URL、公式の憶え方参考にしてください。

参考URL:
http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro/s-koushiki.html
vikkyi
質問者

お礼

有難うございました。カッコの中だけ計算すればよい、というエレガント!?な解き方を教えてくださって有難うございました。私が思うには、自分は計算ミスをただしていたと思います。今後、それをなくしていきたいと思います。

その他の回答 (3)

  • Umada
  • ベストアンサー率83% (1169/1405)
回答No.4

kony0さんのご回答にもありますように、数列の和の最大・最小を求めるにはこんな方法もあります。 Tnを最大にするnの値をiと置いてみます。 その上でTi-T(i+1)と、Ti-T(i-1)を作ってみます。 iを一つ増やした/減らしたときにTnの値が増えるか減るかを調べるわけです。もしn=iでTnが極大なら、Ti-T(i+1)、Ti-T(i-1)とも正の値になるのはすぐにお分かり頂けると思います。(iが最初の条件を満たさなければ、Ti-T(i+1)、Ti-T(i-1)のどちらかは負の値となる) さっそく式を作ってみると  Ti-T(i+1)=-(i+1)(95-3i-3)/2  (1)  Ti-T(i-1)=i(95-3i)/2  (2) となります。(うち消せない最後の1項が残るだけですが) (1)>0, (2)>0とおいて、連立させて不等式を解けばよいわけです。(両方とも本質的に同じ方程式ですが) (2)から 0<i<95/3 と求められます。 (1)は i<-1または92/3<i と出てきます。 両方を満たす正整数iは31しかありませんから、n=31で極大になるはずです。 さて、ここまででは、n=31でTnが「極大」であることしか言えません。最大であることまで言うには(1)が1≦i<31で常に負であること(すなわち、Tnがnに対し単調増加)、(2)が31<iで常に負であること(すなわち、Tnがnに対し単調減少)であることを補足しなければなりません。 これらは式(1)(2)を見ればほとんど自明ですから証明はいりませんが、一言書く必要はあります。 *計算間違いをしているかも知れませんので、式をご自身でチェックしながら読んでいただければ幸いです。

vikkyi
質問者

お礼

有難うございます。別解の仕方がよくわかりました。本当に有難うございまいた。

  • kony0
  • ベストアンサー率36% (175/474)
回答No.3

最大値をとるnの出し方のほうがわかっていなさげですね。 これはアイデアがあったかどうかにつきます。 つまり、S_kが正か負かを考えればよいということです。 ヒントはT_k - T_{k-1} = S_k となることです。 ぶっちゃけてしまうと、自然数kに対して、k<=31ならばS_k>0, K>=32ならばS_k<0なので、 31個目まで足してもT_nはどんどん増えていきますけど、32個目以上のものを足していくと、T_nはどんどん減ってしまう。だから31個目まで足すことにしよう・・・という寸法です。 おそらくvikkyiさんの考え方は、T_nを計算して微分して・・・とやったんだろうと思います。それはもちろん考え方としてひとつも間違っていないんですが、他にも方法があるということで。(微分ではなくて「差分」を考えてるということになります。高校の教科書上、差分という言葉は出ないだろうし、あまり意識していないかもしれませんが、よくやる手法です。[あとは隣接2項間の比をとるとか]) #ちなみにnの「方程式」というのは間違いですね。nが連続の値をとると仮定して、「関数」の極大値(定義域が正の範囲における最大値)を求めようとした、ということでしょう。

  • NyaoT1980
  • ベストアンサー率28% (61/214)
回答No.2

#1です。 続きを・・ 括弧の中について、展開すると -2n^3+94n^2+96であります。 これの最大値と最小値を求めるには微分して0とおきます。 微分すると、 -6n^2+188n となるので、これを0とおくと -6n^2+188n=0 3n^2-94n=0 3n(n-94/3)=0 n=0、94/3 が解となります。ただし、nは2より大きい整数のはずですね。 なので、これに近い自然数すなわち、31(=93/3)が解となると考えられます。 このときの答は8432ですね。

vikkyi
質問者

お礼

有難うございました。私は計算ミスをしていたことにきずきました。 今後、計算ミスをしないように慎重に解きたいと思うます。

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