確率についての素朴な疑問

質問

確率について、わからないことがあります。初歩的で恐縮ですが、だれか教えてください。
サイコロを振ると、全く偶然に１から６のどれかの数字が出ますよね。
例えば２回振って、１が２回続けて出る確率と、１が出て次に３が出る確率は同じだと思います。
もっと言えば、６回投げて1→2→3→4→5→6とでる確率と、1が6回続けて出る確率は同じですよね？
ただ、何十、何百とサイコロを投げ続けて、出たサイコロの目を集計すると１～６までの数字が均等になる、つまりそれぞれ１／６ずつ出るように収れんしていくのだと思います。
なぜ、1回ごとの出る目は偶然なのに、たくさん振ると均等な割合に収れんするのでしょうか？
そこがよくわかりません。

回答No.3

plexus · ベストアンサー

サイコロのどの目も均一な確率で出るとすると、なぜ試行を繰り返すとその確率に収束するか。

それは、「大数の法則」によって数学的に証明されています。

それを理解するための知識はけっこういりますが、
おおまかに流れを説明しましょう。

大数の法則とは、

「ｎ回の試行をしたときの平均」と
「理想値」の差がなくなる確率は、
nを無限大にしたときに１になる！

という法則です。

これを今回の場合に当てはめて考えましょう。

「試行」とは、「１」の目が出るか出ないか（「2」や「3」の目でもいいのですけどね）であります。

「１」の目が出た数を、試行回数で割ったものが
「ｎ回試行したときの平均」ですね。
つまりはn回サイコロを投げて「１」の目が出る割合です。

そう、そして理想値は、
「1回振ったときに「１」が出る期待値」

ですから、これは確率と同じで1/6であります。

n回サイコロを投げて「１」の目が出る割合が
1/6に、ｎを無限大にしたとき一致する！のです。

それがなんでなのかが一番聞きたいところでしょう。

それはやや難しい理論を用いています。

ここでは詳しく紹介しませんが、
「大数の法則」と検索するとよいです。
統計学の話になりますけどね。

その際、「チェビシェフの不等式」というものが
出てきます。この不等式は、高校数学をやっていれば
しっかりと理解することができます。

この不等式を理解すれば、大数の法則の証明も
わかるのではないでしょうか。

以下に、順に「大数の法則の証明」
「チェビシェフの不等式の証明」

のサイトを載せます。難しいかもしれませんが
がんばってください。

参考URL：

http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~wang/teaching/b20402.pdf　http://www.e.okayama-u.ac.jp/~zhxy/lec/stat2/chpt5.pdf

お礼

ありがとうございます。
要するに、私は「大数の法則」がなぜ正しいのかを質問していた、というわけですね。
文系の人間なので、ちょっと難しいですが、収束していくということは数学的に証明されているということですね。

回答No.8

BO-BO-keshi

かなり時間の経ったコメントですが、
もし参考になるようでしたら…

＞なぜ、1回ごとの出る目は偶然なのに、
＞たくさん振ると均等な割合に
＞収れんするのでしょうか？
まず、収れんするとは言ってもあくまでも
"均等に近くなる確率が高くなっていく"だけであるので、
均等からかけ離れた結果になる事も確率０ではないと言えます。
それを考えると、そこまで特殊なことが起こっているとは、わたしはあまり感じないのです。

回答No.7

plexus

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/taisuu/taisuu.htm

ここのページにほとんどのことが書いてましたので、
見てみてください。

実際にサイコロをふるシミュレーションもできます。

参考URL：

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/taisuu/taisuu.htm

お礼

ありがとうございます。
大数の法則の証明を理解する必要がありますね。
文系人間なので、ちょっと難しいですが、がんばってみます。
ただ、大数の法則は数学的に証明されているということですね。

回答No.6

age_momo

>１が２回続けて出る確率と、１が出て次に３が出る確率は同じ

ですが、1が一回、3が一回出る確率は1が2回続けて出る確率の2倍あります。もっと言えば、

>６回投げて1→2→3→4→5→6とでる確率と、1が6回続けて出る確率は同じ

ですが、1が一回、2が一回、3が一回、4が一回、5が一回、6が一回出る確率は1が6回続けて出る確率の720倍あります。もっともそれぞれが一回ずつ出る確率も2%もないですから滅多に起こりませんが1が6回でるより起こりそうですね。

質問者さんの疑問は収斂していく点にあるようですが、逆に試行回数を増やせば、出目が偶然である分、6つの出目の回数が同じになる確率はゼロに近づいていきます。例えば600回振ってそれぞれ100回ずつになる確率は70万分の1くらいです。だから本当に出目が全部1/6にはなりません。出目が偶然であるのはその通りなので試行を増やせばそれぞれの出目の回数の期待値（試行回数×1/6)との差はむしろ広がって行きますよ。

差の広がり方が試行回数の増え方より遅いんで、割ったときに1/6に近づいていくだけで差はどんどん広がっていきます。
つまり割合は収斂していきますが、出目の回数は収斂していきません。そこが誤解の元じゃないでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
出目の回数は収れんしないが、割合は収れんしていく。
それはわかります。何千回振っても、個別のサイコロの出目は偶然ですからね。

「差の広がり方が試行回数の増え方より遅いんで、割ったときに1/6に近づいていくだけで」ということですが、それがよくわかりません。

回答No.5

rabbit_cat

6回サイコロを振ると、
1→1→1→1→1→1
1→1→1→1→1→2
…
1→1→1→1→1→6
1→1→1→1→2→1
1→1→1→1→2→2
…
1→1→1→1→6→6
1→1→1→2→1→1
…
6→6→6→6→6→6
の全部で、6^6=46656通りの可能性があります。
こいつらは全部同じ確率です。
で、この46656通りのうち、
1～6までが1回ずつ出現するのは、6!＝720通りありますが、
同じ数字が6回連続してでるのは、6通りしかありません。

お礼

ありがとうございます。
６回振ったときにそれぞれの目が１回ずつ出る確率は、
720/46656ということですよね。
2％にも満たないのですが、それが何百、何千と振るうちにそれぞれの出目が1/6となる理由が知りたかったのです。

回答No.4

bo-suke

一回ごとの出る目が偶然だから、たくさん振ってどの目がどれぐらい出るのか考えるんですよ。
本当は振った瞬間にさいころの出る目は決まっているのです。物理法則にさいころは支配されているのですから、振った角度や高度でさいころの落下の模様は一つに決まるはずです。
でも人間はそんなに正確にさいころを見ているわけではありませんから、結果だけを見て考えるわけです。例えば12回さいころを振る。例えば60回さいころを振る。そしてそれで信頼度を決めるわけです。
でも何回確かめたって間違える時は間違えるんです。
と言うことは、はっきり言ってこれは半ば信仰のようなものです。何回も振って出る数が多ければ信じると言うだけのことです。そしてさいころの場合はそれがたまたま単純な作業であったが故に推測と結果が一致しているだけです。そこにきちんとした因果関係は、本当はないのです。せいぜい各々の出目が同じだけの面積を持っているさいころを、あまり意図せずに振っているからという程度の推測しかないのです。しかし、それがなぜか役に立つのです。それをわれわれは経験的にしっています。だからよくわからないと言うのはごもっともな話で、わからないものだからわからないと言うのが実際のところです。皆ワカランのです。でも完全に間違ってるわけじゃないと言うことです。
それを信じるところから確率論が始まり、実際われわれの役に立っているのです。

お礼

ありがとうございます。
おっしゃるとおり、経験的に知っていますよね。
確率論は、わからないものをまず信じるという信仰に近いものということですね。

回答No.2

D-JAGA

何十、何百とサイコロを投げ続けて、出たサイコロの目を集計すると＞
この方法によって、1回振ったときの目の出る確率を求めています。(目の出た回数)÷(振った回数)。

それに比べて、例にあげている考え方は、書いてある順番に目が出るという条件で確率を計算しています。１→１、１→３の確率：それぞれ1/36。それに大して、２回振って１が２回でる確率：1/36、２回振って３が出る確率：1/6+1/6＝1/3

また、1→2→3→4→5→6の順番にでる確率は、1/(6の6乗)ですが、収束の結果から極端な話をすると、６回振って６の目の出る回数は、１回となるはずです。また、６回振って６回目に６がでる確率は1/6(５回目までは何が出ても良い)。というように条件設定によって求める確率の種類が変わります。

要するにmanshuさんの言われている確率は、同じ確率という言葉を使っていてもまったく別物と考えた方がいいかもしれませんね。

ちょっとわかりにくいかもしれませんが、いくつか上げた例からご理解いただけると幸いです。

お礼

ありがとうございます。
収束していくのと、出る順番とは確率の考え方が違うということですよね。そうだと思います。

>６回振って６の目の出る回数は、１回となるはずです
これが理屈ではそうだと分かるのですが、なぜそうなのかがわかりませんでした。

回答No.1

BLUEPIXY

>1回ごとの出る目は偶然なのに、たくさん振ると均等な割合に収れんするのでしょうか？
それが、それぞれの出目が均等であるということです

お礼

ありがとうございます。