シュレーディンガー方程式の途中計算で躓いていますか?解決方法を教えてください

このQ&Aのポイント
  • 準自由電子近似の途中計算において、シュレーディンガー方程式の第2項の処理方法が分からない場合、以下の解決方法を試してみてください。
  • シュレーディンガー方程式に3次元のフーリエ級数展開をした波動関数Ψ(r)とポテンシャルV(r)を代入し、恒等式を作る際に、exp(k-(2π/a)n・r)の係数について問題が発生します。
  • この問題を解決するためには、シュレーディンガー方程式の第2項を適切に処理する必要があります。具体的な方法としては、エネルギーレベルEと波数k'を用いて恒等式を再構成し、係数Anを求めることがあります。詳細な手順は質問文章を参考にしてください。
回答を見る
  • ベストアンサー

準自由電子近似の途中計算の質問

ゼミでテキスト発表があるのですが、シュレーディンガー方程式の途中計算で躓いています。 問題の箇所は シュレーディンガー方程式に3次元のフーリエ級数展開をした波動関数Ψ(r)とポテンシャルV(r)を代入し、この式でexp(k-(2π/a)n・r)の係数について恒等式を作るところです。 Ψ(r)=exp(ikr)ΣAn exp(-i(2π/a)n・r) V(r)=ΣVn exp(-i(2π/a)n・r) シュレーディンガー方程式 -h^2/2m▽^2ψ(r)+V(r)ψ(r)=Eψにこれらを代入して exp(k-(2π/a)n・r)の係数について恒等式を作ると [E-(h(エイチバー)^2/2m)k'^2]An=ΣAn'Vn-n' (  k'=k-(2π/a)n  ) となるそうです。この恒等式を作る途中でシュレーディンガー方程式の第2項をどう処理すれば上記のようになるのかわかりません。どうしたらよいでしょうか?教えてください

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)
回答No.1

Ψ(r)=exp(ikr)ΣAn exp(-i(2π/a)n・r) V(r)=ΣVn exp(-i(2π/a)n・r) を、直接、 シュレーディンガー方程式 -h^2/2m▽^2ψ(r)+V(r)ψ(r)=Eψにこれらを代入して、計算するのは、難しいですね。この場合には、普通、シュレーディンガー方程式を極座標で表して、動径r部分R(r)と角部分Y(θ,φ)に変数分離して、動径部分の方程式にΨ(r),V(r)を代入すればよいと思います。目的の式が自然に導かれるはずです。

nishibi
質問者

お礼

解決しました、ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 量子化した電界の交換可能性

     量子力学を独学で勉強しているのですが,8 時間ほど悩んで分かりません.教えて頂けないでしょうか?  生成演算子を a,消滅演算子を a†,波数ベクトルを k,プランク定数 h,誘電率 ε,モード体積 V,角周波数 ω_{k},位置ベクトル r とします.またモードの偏光と伝播方向を同時に表すベクトルを υ とします.  このときベクトルポテンシャルを表す演算子 A および,電場演算子 E は A = Σ_{k} (h / 4πεV ω_{k})^{1/2} υ × {a exp(-i ω_{k} t + ikr)} + a† exp (i ω_{k} t - ikr)} E = Σ_{k} i (h ω_{k} / 4πεV)^{1/2} υ × {a exp(-i ω_{k} t + ikr)} - a† exp (i ω_{k} t - ikr)} と表せます.また m, n をそれぞれ x,y,z のいずれかとして,υ のデカルト成分を υ_{m},υ_{n} とするとき, E_{m},A_{n}に対する交換関係 [E_{m} (r), A_{n} (r')] = (ih / 4 πεV) Σ_{k} ν_{m} ν_{n} {exp (ikr - ikr') + exp(-ikr + ikr')} と表されます.ここまでは理解できました.  さらに,任意のベクトル場を V (r) とし,そのフーリエ変換を V (r) = (1 / 8 π^{3}) ∫dk V(k) exp (ikr) またベクトル場の縦成分と横成分への分解を V (r) = V_{T} (r) + V_{L} (r) ∇・V_{T} (r) = 0 ∇×V_{L} (r) = 0 とします.このとき ∫dr' [E(r),A(r')・V(r')] = (ih / 2 πε) V_{T} を証明したいのですが,うまく証明できません.教えていただけないでしょうか.  自分なりに展開してみたところ ∫dr' [E(r),A(r')・V(r')] = ∫dr' (ih / 2 εV) V(r') {exp (ikr - ikr') + exp (-ikr + ikr')} かなとも思うのですが,この展開が正しいのか自信がないのと,正しいとして先に進めません.ご教授いただけないでしょうか.

  • 半古典的近似(WKB近似)について

    粒子の波動関数を Φ=exp(iS/h) として、これをシュレディンガー方程式に代入したものがプランク定数hについての恒等式だとして議論を進めますが、hは、古典的極限を考えるときは確かにパラメータですが(h→0としてよい)、式の中では定数なので何故このような論理がたつのかよくわかりません。 ここではhをどのように扱っているのでしょうか?

  • ブロッホ波動関数

    波動関数 式(1) ψ=u*exp(ikr) 1電子ハミルトニアン 式(2) Hψ={(-h'/2m)∇^2+V}ψ=Eψ h'=h/2π 式(1),(2)より ブロッホ波動関数 式(3)[1/2m{p^2+2h’k・p+(h'^2)k^2}+V]u=Eu ψ,u,Hはrの関数 Eはkの関数 なぜ、式(3)になるか教えて下さい。 以下、自分の途中計算 式(2) {(-h'/2m)∇^2+V}ψ =-h'/2m(∂^2/∂r^2)ψ+Vψ =-h'/2m(∂^2/∂r^2)u*exp(ikr)+Vψ =-h'/2m(ik^2)u*exp(ikr)+Vψ ={(h'k^2)/2m+V}ψ となり式(3)の形になりません p=h'kを使っていると思います。 なぜ式(3)で内積が出で来るかがわかりません。 詳しい解説お願いします。

  • 問題の途中計算で…

    問題の途中計算で… ちなみにa1=2です。 n-1 an=a1+Σbk k=1 より n-1 n-1 an=2+Σk^2+Σk k=1 k=1 =2+1/6(n-1)n(2n-1)+1/2(n-1)n というところまではわかります。 ここからどのように計算したら an=1/3(n^3-n+6) という答えが出るのでしょうか⁇ ちなみに指数関数はまだ習っていないので、指数法則を使った解説をお願いします…。

  • 固体物理学 

    物理の質問です。 固体物理の静電遮蔽でポアソン方程式を習ったのですが 板書をしたノートで分からないことがあったので 教えてください。 ポアソン方程式 ∇^2×φ(r)=4πρ(r) φ(r)→φ0(k) ρ(r)→P(k) φ0(k)=4πP(k)/k^2 G(k)=4π/k^2(1/2π)^3と書けば φ0(k)=(2π)^3G(k)P(k) 両辺を逆フーリエ変換 φ(r)=(2π)^3∫G(k)P(k)exp(ikr)d^3k =∫ρ(r')G(r-r')d^3r' G(r)=(1/2π^2)∫exp(ikr)/k^2 d^3k =(1/2π^2)×2π∫k^2dk∫dμexp(ikrμ)/k^2 ↑このG(r)の式の変形がなぜこうなったのかが分かりません。 極座標かと思うのですが… どなたかお願いします。

  • ブロッホの定理の波数kについて質問です!

    周期Rで周期的なポテンシャルV(r+R)=V(r) (R:格子ベクトル) の中の電子の波動関数の関数形がΨ=Uk(r)*exp(ikr)となる というブロッホの定理ですが、誘導過程でなぜexp(ikr)が出てくるのかが疑問です。 「半導体の物理」(御子柴先生:産業図書出版)のP36に証明があるんですがそこでは|λ^2|=1なλならなんでもよく(exp(ikr)とする必要はなく)kになぜ波数としての役割を与えるのかが示されていません。導出の過程ではkは波数でなくてもいいはずです。数学的にすっきりとブロッホ関数が平面波×周期関数の振幅になることを導きたい! わからないんです!お願いします汗

  • シュレディンガー方程式

    クーロン散乱とかの範囲の問題で、シュレディンガー方程式が [-((h/2π)^2)/2m*△+(k^2)-2γk/r]ψ(r)=0 (1)  {γ=(Z1*Z2*e^2)/(h/2π)v , △:ラプラシアン}となって、この方程式は (e^ikz)*f(r-z)という正則解をもつそうです。 ここで出てくるzという文字はrには依存しないと考えていいのでしょうか? 具体的には、この正則解を代入して、r-zをuと置くのですが、代入後rで微分するときにzも微分しないといけないですか? よろしくお願いします!

  • 係数を求める計算です。

    r>0の定数、g(θ)はθ∈[0,2π]で連続な関数とします。 係数an,bn.cn.dnを(n∈N)求めるために次の3つの方程式を考えます。 a0,c0はan,cnにおいてn=0としたものです。 このとき 2π (a0+c0•logr) = ∫(0~2π)g(θ)dθ 2π {bn(r^n)+dn(r^(-n))} = ∫(0~2π)g(θ)(e^inθ)dθ 2π {an(r^n)+cn(r^(-n))} = ∫(0~2π)g(θ)(e^(-inθ))dθ 以上の3つの方程式から、 an,bn.cn.dnを計算して求めたいところです。 どのように計算をすれば求められますでしょうか? テキスト等や問題集には詳しい計算が省略されていて困っています。 どなたか解法、途中計算をよろしくお願い致します。

  • 磁場中の電子のシュレディンガー方程式

    ベクトルポテンシャルA=(0,Bx,0)としたときの1電子のシュレディンガー方程式は画像の(19.14)式となり、波動関数を変数分離して(19.16)式のようになっています。(19.16)式だけで調和振動子の形となっているように思うのでε1=h'ω(n+1/2)となるのは分かるのですが、どこから(19.17)のように(h'k)^2/(2m)が出てきたのですか?(19.14)をどのように計算して(19.16)となってエネルギーが(19.17)式のように求まるのでしょうか。

  • 数学の問題で質問があります。

    整数係数のn次の整式 f(x)=x^n+a1x^n-1+a2x^n-2+・・・+anについて。ある自然数kに対して、k個の整数f(1f(2f(3),,,f(k)がいずれもkで割り切れなければ、方程式f(x)=0は有理数の解を持たないことを証明せよ。 まず、どのようなことを示したいからこういうことをして、だからこの計算などをして・・・・のような感じで、この問題に挑む際にどのような方針を立てればよいのかなど教えてもらえないでしょうか? よろしくお願いします。