円錐台の求め方の式の証明がわからない

質問

円錐台の普通（僕は中学生です）の求め方は引き算で大きい円錐と小さい円錐を想定して相似から高さを求めてやりますよね。

でも、円錐台の求め方で（上底*上底+下底*下底+上底*下底）*高さ*π*１/３
という式を小学生のときに塾で習いました。そのときはまだ証明は無理。理解できんやろ。と言われ、中３やったらわかるかなぁ？といわれました。

ということで今さっき急に知りたくなってしまいました。

証明方法できるだけ細かめに教えていただけたらうれしいです。

理解できる範囲は一応ベクトル、微積分、三角関数などの普通の分野は習得（？）しております。

回答No.3

puni2 · ベストアンサー

一部，分数式や3次式の因数分解が出てきて中3数学の範囲をこえますが，だいぶ先まで進んでいるようなので，使わせてもらいます。

上底をs，下底をr，円錐台の高さをh，大きい円錐から小さい円錐を切り取ったと考えた時の，その切り取り部分の高さをkとします。
すると，（かけざんを*，累乗は^で表します）

求める体積V＝1/3 * πr^2 * (h+k) - 1/3 * πs^2 * k　…(1)

ここで，相似の関係から r-s : s = h * k
すなわち
k=sh/(r-s)　…(2)

(2)を(1)に代入してkを消去する。
（途中の細かい計算は省きます。ご自分でお試しください。なお，1/(r-s)でくくるという操作が入ります）
V=1/3 * πh/(r-s) * (r^3-s^3)
ここで，因数分解の公式より r^3 - s^3=(r-s)(r^2 + rs - s^2)となるので，結局
V=1/3 * πh(r^2 + rs + s^2)
（証明終わり）

それにしてもそんな公式を小学生に教える塾って…近ごろの塾は恐ろしい。

お礼

おぉ簡単に説明をまとめていただき有難う御座います。
すぐに理解できました。
まだ実際は細かいところの式はやってないのですが、数式のこれぐらいのレヴェルなら解けると思いますし。

受験専門の塾に行ってました。先生も必死だったんですね。

回答No.2

starflora

上底と呼んでいるものをａ、下底と呼んでいるものをｂとし、円錐台の高さをｈ、ｂを底面半径とする円錐の高さをＨとします。

　　円錐台の体積は、(1/3)π(b^2・H － a^2・(H-h))　　　式１）
　　となります。これはいいですか？

　　一方、底がｂ、高さはＨの直角三角形を描いて、その途中にａの長さの線を引き、底からこのａまでの高さをｈとします。これは円錐台の切った上の円錐も含めての断面図です。

　　この時、次のような関係が成立します：
　　h/(b-a)=H/b
　　従って、
　　H=bh/(b-a) です。　　　　　　　　　　　　　　　式２）

　　式２）を式１）に代入して、Ｈを消します。
　　(b^2・H － a^2・(H-h))　の部分だけ考えます。 式１ａ）
　　変形すると、
　　b^2・H － a^2・H ＋ a^2・h
　　＝ (b^2 － a^2)・H ＋ a^2・h　　　　　　　　　式３）
　　式３）に式１ａ）を代入して整理すると：
　　＝ (b ＋ a)・bh ＋ a^2・h
　　＝ (b^2 ＋ a^2 ＋ ab)・h

　　元の式１）にあった、 (1/3)πをかけて元に戻すと：
　　(b^2 ＋ a^2 ＋ ab)・(1/3)πh
　　これで証明されているでしょう。

　　b^2-a^2＝(b+a)(b-a) という因数分解を使っているのです。
　　それと、三角形の相似関係

補足

なぜか理解が出来ません。記号の置き換えがひどく多いため混乱してしまいます。
もういちど自分で書き直して証明してみます。

回答No.1

NyaoT1980

この台の高さを高さと呼びます。

小さい方の円錐の高さをｘとおくと
上底：下底＝ｘ：ｘ＋高さ
下底ｘ＝上底（ｘ＋高さ）
ｘ（下底ー上底）＝上底＊高さ
ｘ＝上底＊高さ/（下底ー上底）

大きい方の円錐の高さは、ｘ＋高さより
下底＊高さ/（下底ー上底）

大きい円錐の体積は
下底＊下底＊π＊１/３＊高さ＊下底/（下底ー上底）
小さい円錐の体積は
上底＊上底＊π＊１/３＊高さ＊上底/（下底ー上底）
大きい円錐ー小さい円錐を計算してみると、
π＊１/３＊高さ＊（下底＾３ー上底＾３）/（下底ー上底）
ここで、因数分解をすると、
π＊１/３＊高さ＊（下底ー上底）（下底＾２＋上底＾２＋下底＊上底）/（下底ー上底）
よって（上底*上底+下底*下底+上底*下底）*高さ*π*１/３

ずいぶん面白い公式ですね♪頑張って考えちゃいました。

補足

まず、円錐台の高さを「高さ」と設定するんですね。ちょっとわかりにくいかも・・・
そして、上の小さい円錐（想定した）の高さをｘとおくと。ここまではいいんですが、下底＊高さ/（下底ー上底）は何を意味しているのでしょうか？大きいほうの円錐の高さでいいのでしょうか？

たしかにこれは中３にならないとわからないわけですね。

考えてみると本当におもしろい式ですね。