4次方程式の解

質問

４次方程式の解はフェラリの公式にて求まるらしいんですが、
本には
「ax^4+bx^3+cx^2dx+e=0(a≠0)
ξ=x+b/4aにより　ξ^4+pξ^2+qξ+r=0に移す。
　後者の３次分解方程式　t^3-pt^2-4rt+(4pr-q^2)=0
　の１根をt0とすれば、ξは二つの2次方程式
　　ξ^2±(√t0-p)｛ξ-q/2(t0-p)}+t0/2=0
　を解いて得られる。」
と書いてあったのですが、
不勉強のせいか、意味が全く判らず、対処しかねています。
どなたか、この意味を噛み砕いて、教えて頂けないでしょうか？
宜しくお願いいたします。

回答No.2

starflora · ベストアンサー

ファラーリの解法はかなり複雑で、こんな簡単には説明できないのですが、あらすじの解法の手順を示しているのだと思います。これから、四次方程式の具体的な解法の式を理解しようとするのは少し無理があると思います。わたしも少し考えてみましたが、或る箇所で、どうしてこうなるのかが分かりません。記憶では、この部分の解法は、先に見つかっていたのか、または、ここがフェラーリの解法の要点なのか、おそらく、後が正しいのだと思えます。というのは、この部分が解ければ、後は、そんなに難しい話ではないからです。

　　という前置きで、この解法プロセスの構造の説明をします。ただ、どうしてこうなるのか分からない所があると言うのは、上に述べた通りです。何が分からないのかも説明しますので、それ以上のことは、また調べられて、再度質問等されるのがよいと思います。いずれにしても、当時の最高水準の数学者がようやく解いたのですから、そんなに簡単に分かるものではありません。

　　まず、準備として、次の展開式は正しいということを確認してください：

　　(x^2+jx+k)(x^2+mx+n)＝x^4+(j+m)x^3+(k+n+jm)c^2+(k+n)x+kn　　式０）

　　j,k,m,n は何でもよいのですが、他の式の記号と混同が起こらないように、こういう記号にしました。

　　＞ax^4+bx^3+cx^2dx+e=0(a≠0) 　　　　　　　　　　　　式１）
　　＞ξ=x+b/4aにより　ξ^4+pξ^2+qξ+r=0に移す。　　　　式２）

　　これは、ξ=x+b/4a を式１）に代入すると、式２）が出てきます。従って、別に難しいことはありません。（何故、こういう変換を行うかというと、式２）のように、四次方程式を、「三次項のない四次方程式」に形を変えているのです）。

　　＞後者の３次分解方程式　t^3-pt^2-4rt+(4pr-q^2)=0 　式３）

　　実は、これが問題なのです。この式３）は、三次方程式になっています。色々考えたのですが、式２）の四次方程式を、どう変形すると、式３の三次方程式になるのか、わたしには分かりません。また、この部分が分かれば、四次方程式は解けたことになるのです、実質、この式２）から式３）への「分解」というのが、どういう手順なのかが問題になります。（わたしには、ちょっと分からなかったということです）。

　　しかし、式３）に分解されるということを事実として認めましょう。また、そのようにして分解し、三次方程式にした時、この三次方程式の形が、式３）になるということも認めましょう。（本当は、どうしてこうなるのかの説明がいるのですが、最初に断った通り、これが解法の核心部分だと思え、かなり複雑な手順がいるのかも知れません。あるいは、わたしの考えが浅いので、分からないだけかも知れません）。

　　＞の１根をt0とすれば、ξは二つの2次方程式
　　＞ξ^2±(√t0-p)｛ξ-q/2(t0-p)}+t0/2=0
　　＞を解いて得られる。

　　ここで、もう四次方程式は解けたと言っているのですが、どこが解けているのか、よく分かりません。式２）から式３）への移行によって、どういう風なことをしたのかが分からないのです。解説が合っていると、ここでも考えます。

　　そうすると、何故二つの二次方程式の解が、四次方程式の解になるのか、という疑問が出てきます。これは、最初に、準備のため式０）を造っておきました。これを参照します。式０）をもう一度、左辺と右辺を逆に書くと、以下のようになります：

　　x^4+(j+m)x^3+(k+n+jm)c^2+(k+n)x+kn＝(x^2+jx+k)(x^2+mx+n)　　式０ａ）

　　左辺は、四次方程式です（係数がa=1ですが、これは本質的ではありません。係数が１でなくとも、全体をaで割ると、上のaの係数が１の方程式になるからです。

　　そこで、上の式０）を眺めてみて考えますと、これは四次方程式を二つの二次方程式に分解している式だと分かるはずです。つまり、この四次方程式を解くには、右辺の二つの二次方程式を解けばよいのです。

　　この場合、解くべき、四次方程式として、三次項を０にした、式２）を考えます。式２）は次のような形をしていました（もう一度写して来ます）：　

　　＞ξ^4+pξ^2+qξ+r=0　　　　　　　　　　　　　　式２）

　　式０ａ）と比べてみると、j+m が 0 になっています。つまり、m = -j だということです。これを代入して、式０ａ）を書き直すと、次のようになります：

　　x^4+(k+n-j^2)c^2+(k+n)x+kn＝(x^2+jx+k)(x^2-jx+n)　　式０ｂ）

　　ここの式０ｂ）の x　という変数は、式２）のξに当たるものです。両者の係数を比較すると：

　　p=k+n-j^2
　　q=k+n
　　r=kn

　　第一の式と第二の式から直ちに：　q-p=j^2　→　j=+/-(q-p)^(1/2)
　　第二の式と第三の式から、kとnを解く二次方程式が出てきて、その解は：
　　k=(q+/-√(q^2-4r))/2　　n=(q-/+√(q^2-4r))/2　　となります。

　　すると、式０ｂ）の二つの二次方程式は（x=ξとして）：

　　ξ^2+/-√(q-p)ξ+(q+/-√(q^2-4r))/2 = 0
　　ξ^2+/-√(q-p)ξ+(q-/+√(q^2-4r))/2 = 0

　　これだと二次方程式が四個ありますが、ξの解が出てくることは間違いありません。解は全部で８個出てくるのか、実は同じものになって全部で４個になるのかも知れませんが、ξ=x+b/4a の式で、x の解に戻し、元の四次方程式に代入してみると、正しい解が確認できます。

　　変な話ですが、どこかで考え間違いをしているのかも知れませんが、三次方程式への式の分解なしで、また説明にあるような根 t0 の計算なしで、四次方程式が解けてしまうことになります。

　　どこかで間違ったのかも知れませんが、これをアドヴァイスとして提示します。計算に間違いがなければ、これで四次方程式が解けていることになります。

　　本来、説明として、式の形の意味は三次方程式への分解の時の規則で決まって来るのであり、何故二つの二次方程式に四次方程式が分解できるのかの説明だったのですが、結果として、三次方程式への分解なしに解けるということになりました。何かおかしいのか、とまれ、おかしいとしても、説明は、一応以上でしています。三次方程式への分解が分からないので、その後の項の値も、どうしてああなるのかよく分からなかったのです。

　　（現在の考えでは、おかしさが見つけられません。もう一度考えて、何かおかしいことをしたのか考えてみます）。

お礼

出張に行っていて、返事が遅くなって申し訳ありませんでした。
大変参考になりました！
ありがとうございました。