複素フーリエ級数

質問

ｆ(ｘ）＝e exp|x|
うまくかけませんでしたがeの絶対値のx乗の複素フーリエ級数の答えをお願いします。自分で解いてみるとeのπ乗がうまくΣの前にでません。

回答No.1

stomachman

f(x) = exp(|x|)
の複素フーリエ級数を求めたいというご質問でしょうか。
xが複素数なのか実数なのか、そこがはっきりしませんけど、
f(x) = exp(|x|)
はどのみち実数値関数で、しかも偶関数です。
フーリエ級数を考える以上、xの変域が指定されているか、あるいは周期関数になっているのでなくてはおかしいですね。
そこで、たとえばxは実数で、f(x)は -π≦x＜πで定義されている、ということにしてみましょう。

すると、複素フーリエ級数
f(x) = ΣF[n]exp(inx)　　（Σはn=-∞～∞)
において、
・f(x)は偶関数だからF[n]は実数。
・f(x)は実数値関数だからF[-n] はF[n]の複素共役。
∴F[n]は実数で、F[-n]=F[n]である。
ということが直ちにわかります。

具体的にやってみますと、
F[n]= (1/π)∫f(x) exp(-inx) dx　（積分は-π～π）
= ∫f(x) cos(nx) dx + i ∫f(x) sin(nx) dx 　（積分は-π～π）
というわけですが、f(x), cos(nx)は偶関数、sin(nx)は奇関数なので第二項は０であり、
F[n]= ∫f(x) cos(nx) dx 　（積分は-π～π）
ここでf(x) cos(nx)は偶関数だから、
F[n]= 2∫f(x) cos(nx) dx　（積分は0～π）
= 2 ∫exp(x) cos(nx) dx　（積分は0～π）
となります。
この計算なら簡単でしょう？公式集にも載ってる筈です。

定数exp(π)が現れますが、それが直ちにΣの外に括り出せる訳ではありません。というのはnが奇数か偶数かによってF[n]に因子(-exp(π)-1)か(exp(π)-1)が現れるからです。しかしこの定数exp(π)が括り出せなくても何の不都合もないと思いますが？