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アステロイド曲線の長さについて

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半径80cmの円に内接するアステロイド曲線の長さを教えて下さい。
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レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

半径 a の円に内接するアステロイドの式は
(1)  x^(2/3) + y^(2/3) = a^(3/2)
です.
対称性から,第1象限(x>0,y>0)だけ考えておけば十分です.
(1)を x で微分して
(2)  (2/3)x^(-1/3) + (2/3)y^(-1/3)(dy/dx) = 0
ですから
(3)  dy/dx = -(y/x)^(1/3)
で,
(4)  √{1+(dy/dx)^2} = √{1+(y/x)^(2/3)} = (a/x)^(1/3)
になります.
長さの公式から
(5)  L = 4 ∫(0~a) √{1+(dy/dx)^2} dx
     = 4 ∫(0~a) (a/x)^(1/3) dx = 6a
が得られます.

a = 80 cm なら,1周は 480 cm ということになります.
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