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数III微分の問題について

問題集を解いていて、解答が良くわからない問題がありました。 (1)logxをxの自然対数とする。 このとき、関数f(x)=logx/x(x>0)のグラフの概形を書け。 (2)aを正の数とする。不等式ax(x:指数)≧xa(a:指数)が、x≧a である任意のxに対して成り立つような、aの範囲を求めよ。 という問題ですが、 (2)の解答に関して、 ax(x:指数)≧xa(a:指数)⇔xloga≧alogx a>0、x>0より、 logx/x≦loga/a ∴f(x)≦f(a) x≧aとなる任意のxで、f(x)≦f(a)が成り立つのは、 (???)x≧aにおけるy=f(x)の最大値がf(a)となる場合である。 上の(???)以下の文章がよくわかりません。 わかる方、どうか教えてください。 ちなみに答えは、y=f(x)のグラフから、a≧eとなります。

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  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)
回答No.2

ax(x:指数)は a^x と表記するといいですよ。 >上の(???)以下の文章がよくわかりません。 (1)のグラフはかけているんでしょう?それならば、それをみながら この文の意味を読み取ればいいでしょう。 グラフに、どこでもいいから直線x=aを引いてみると、この直線とグラフ の交点のy座標が f(a) になりますよね。 ここで、「x≧aとなる任意のxで、f(x)≦f(a)が成り立つ」ということを みてみると、これは「いま引いたx=aの直線より右側の範囲において グラフが f(a) の値を超えることがない」と言い換えることができます。 すると、もし直線x=aを最大値をとるときのxの値eよりも小さいところ、 つまりそれより左側に引いたときは f(a) が f(x) より小さくなる部分が 出てしまいます。直線x=aをどんどん右側にずらしていくと、f(x)≦f(a) が成り立つのは直線x=aがグラフの最大の部分から右側にあるとき でなければいけない、とわかります。 ということで、x≧aとなる任意のxで、f(x)≦f(a)が成り立つのは、f(a)が グラフの一番高いところであること、つまりaは f(x) の最大値でなければ ならない、ということがいえるわけです。 わかったでしょうか?

grandpiano
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 なるほど~おかげさまで理解できました!!

その他の回答 (1)

  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)
回答No.1

y = -x のグラフを紙に描いてみて下さい。 描けたらグラフの0≦xの部分を見て下さい。 この時y = -x(0≦x)の最大値は、グラフをみればx=0の部分ですね。 なので0<xの部分のyの値は、x=0の値よりも小さいですよね? 最大値はx=0の部分なんですから。 なので f(x) = -x とおいた時、0≦xとなる任意のxで f(x)≦f(0) が成り立ってます。 今回の場合、a≦xでf(x)≦f(a)です。 これも適当なグラフを描いてみれば分かると思います。 別にf(x)=(logx)/xでなくてもいいです。 x=aという点を決めて、y = f(x)のグラフが、a<xで、 y≦f(a)となるように描いてみて下さい。 そうすれば、どうして 『a≦xとなる任意のxで、f(x)≦f(a)が成り立つ。』 →『a≦xの範囲で、f(x)の最大値はf(a)である。』 となるのか分かると思います。 結局、f(a)が最大値でないと、f(x)≦f(a)が『常に』成り立つわけでは なくなってしまいます。 a<bの時、f(a)≦f(b)となってしまったら(つまりf(a)が最大値でないなら)、 f(x)≦f(a)は『常に』成り立たってはいませんよね?

grandpiano
質問者

補足

回答ありがとうございます!! 非常にわかりやすい説明でした!!ありがとうございました!!

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