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条件付き極値

stomachmanの回答

  • stomachman
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回答No.2

で、できるだけ詳しく、っすか。 じゃugooさんの続き。 未定乗数法は宜しいんですが、 F=sinα+sinβ+sinγ -λ(α+β+γ-2π) = 0 とおいて 、連立方程式 ∂F/∂α = cosα-λ=0 ∂F/∂β = cosβ-λ=0 ∂F/∂γ = cosγ-λ=0 を解くことで、α+β+γ-2π=0という制限付きで極値になる条件を求めると cosα=cosβ=cosγ=λ ですね。 さて、 cosα=cosθ を満たすθの集合Θ(α)は、(Zを整数の集合として) Θ(α)={θ| ∃k(k∈Z ∧ (θ=α+2kπ ∨ θ=-α+2kπ)} です。だからαを固定した場合、 cosα=cosβ=cosγ を満たすようにβ,γを選ぶということは、 β∈Θ(α)∧γ∈Θ(α) 一方 γ=2π-α-β でなくてはならない。ですから、 (1)β=α+2kπのときには  γ=-2α+2(1-k)π∈Θ(α)  でなくてはならない。これが成り立つには  (1-1)∃m(m∈Z∧α=2mπ)であるか、もしくは  (1-2)∃m(m∈Z∧2mπ-2α=α)  でなくてはならない。  (1-1)の場合、sinα+sinβ+sinγ=0です。  (1-2)の場合、2mπ-2α=αより   α=2mπ/3   β=2mπ/3+2kπ   γ=-4mπ/3+2(1-k)π   (1-2-1)mが3の倍数ならsinα+sinβ+sinγ=0です。   (1-2-2)mが(3n+1)の形をしていれば、    sin(α)=sin(2π/3)=sin(π/3)    sin(β)=sin(2π/3)=sin(π/3)    sin(γ)=sin(-4π/3)=sin(π/3)    だからsinα+sinβ+sinγ=3sin(π/3)です。   (1-2-3)mが(3n+2)の形をしていれば、    sin(α)=sin(4π/3)=-sin(π/3)    sin(β)=sin(4π/3)=-sin(π/3)    sin(γ)=sin(-8π/3)=-sin(π/3)    だからsinα+sinβ+sinγ=-3sin(π/3)です。 (2)β=-α+2kπのときには  γ=2π-2kπ=2(1-k)π∈Θ(α)  でなくてはならない。これが成り立つには  ∃m(m∈Z∧α=2mπ) でなくてはならないので、  sinα+sinβ+sinγ=0  です。 以上から、最大になるのは(1-2-2)の場合、つまり ∃n∃k(n∈Z ∧ k∈Z ∧ α=2(3n+1)π/3 ∧ β=2(3n+1)π/3+2kπ ∧ γ=-4(3n+1)π/3+2(1-k)π) であって、そのとき最大値 sinα+sinβ+sinγ=3sin(π/3) を持つということになるのかな。あ~しんど。 α+β+γ-2π=0 をご確認下され。

noname#82458
質問者

補足

∧、∨の記号は∩と∪みたいなものだと考えていいのでしょうか? それと、この問題でのα,β,γは、三角形の外心と各頂点を結んだ3本の線同士がなす角ということだったのですが、その時でもα+2kπと一般角で考える必要があるのでしょうか?

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