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条件付き極値
stomachmanの回答
- stomachman
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で、できるだけ詳しく、っすか。 じゃugooさんの続き。 未定乗数法は宜しいんですが、 F=sinα+sinβ+sinγ -λ(α+β+γ-2π) = 0 とおいて 、連立方程式 ∂F/∂α = cosα-λ=0 ∂F/∂β = cosβ-λ=0 ∂F/∂γ = cosγ-λ=0 を解くことで、α+β+γ-2π=0という制限付きで極値になる条件を求めると cosα=cosβ=cosγ=λ ですね。 さて、 cosα=cosθ を満たすθの集合Θ(α)は、(Zを整数の集合として) Θ(α)={θ| ∃k(k∈Z ∧ (θ=α+2kπ ∨ θ=-α+2kπ)} です。だからαを固定した場合、 cosα=cosβ=cosγ を満たすようにβ,γを選ぶということは、 β∈Θ(α)∧γ∈Θ(α) 一方 γ=2π-α-β でなくてはならない。ですから、 (1)β=α+2kπのときには γ=-2α+2(1-k)π∈Θ(α) でなくてはならない。これが成り立つには (1-1)∃m(m∈Z∧α=2mπ)であるか、もしくは (1-2)∃m(m∈Z∧2mπ-2α=α) でなくてはならない。 (1-1)の場合、sinα+sinβ+sinγ=0です。 (1-2)の場合、2mπ-2α=αより α=2mπ/3 β=2mπ/3+2kπ γ=-4mπ/3+2(1-k)π (1-2-1)mが3の倍数ならsinα+sinβ+sinγ=0です。 (1-2-2)mが(3n+1)の形をしていれば、 sin(α)=sin(2π/3)=sin(π/3) sin(β)=sin(2π/3)=sin(π/3) sin(γ)=sin(-4π/3)=sin(π/3) だからsinα+sinβ+sinγ=3sin(π/3)です。 (1-2-3)mが(3n+2)の形をしていれば、 sin(α)=sin(4π/3)=-sin(π/3) sin(β)=sin(4π/3)=-sin(π/3) sin(γ)=sin(-8π/3)=-sin(π/3) だからsinα+sinβ+sinγ=-3sin(π/3)です。 (2)β=-α+2kπのときには γ=2π-2kπ=2(1-k)π∈Θ(α) でなくてはならない。これが成り立つには ∃m(m∈Z∧α=2mπ) でなくてはならないので、 sinα+sinβ+sinγ=0 です。 以上から、最大になるのは(1-2-2)の場合、つまり ∃n∃k(n∈Z ∧ k∈Z ∧ α=2(3n+1)π/3 ∧ β=2(3n+1)π/3+2kπ ∧ γ=-4(3n+1)π/3+2(1-k)π) であって、そのとき最大値 sinα+sinβ+sinγ=3sin(π/3) を持つということになるのかな。あ~しんど。 α+β+γ-2π=0 をご確認下され。
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