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行列についての質問です

下に書いてあるV1~V4は列ベクトルだと思ってください。 V1=(1,0,2,-1) V2=(3,1,2,0) V3=(5,2,1,-2) V4=(-1,-2,3,-2)で、 Vは[V1,V2]で張られる部分空間、Wは[V3,V4]で張られる部分空間であるとしてV+W,V∩Wの求め方を教えてください。 線形代数の予習でよくわからなくて困っています。 宜しくお願いいたします。

質問者が選んだベストアンサー

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  • uyama33
  • ベストアンサー率30% (137/450)
回答No.2

ベクトルを横に書きます 1、0,2,-1 3,1,2,0 5,2,1,-2 -1,-2,3,-2 一行目を何倍かして2行目3行目..に加えて 1,0,2,-1 0,1,-4,3 0,2,-9,3 0,-2,5,-3 さらに2行目を何倍かして3行目..にくわえて 1,0,2,-1 0,1,-4,3 0,0,-1,-3 0,0,-3,3 さらに3行目を何倍かして4行目に加えて 1,0,2,-1 0,1,-4,3 0,0,-1,-3 0,0,0,12 これから、4つのベクトルはすべて独立で V+W=R^4 V∩W=0 かな?

その他の回答 (1)

  • hismix
  • ベストアンサー率64% (11/17)
回答No.1

まずV+Wから考えます v1,v2は明らかに一次独立よりdimV=2 またv3,v4も明らかに一次独立よりdimW=2です ではdim(V+W)が4になるかといったらいつもそうとは限りません これはその例になってるわけです。 だからV+Wの求め方としては、 v1,v2にv3を加えたときまた一次独立になるかということを調べ 仮に一次独立になったら、今度はv4も加えて一次独立になるか調べましょう。 (実際に計算してないのでこれは方針です) 仮にv4を加えたら一次従属になってしまったとしましょう。 するとこの時dim(V+W)=3で V+W={sv1+tv2+uv3 |s,t,uはスカラー} と求まるわけです。 V∩Wも同じです おそらくdimV∩W=1ですから VとWに共通するベクトルを1つ見つければ、 (仮にそれをvとすれば) V∩W={sv|sはスカラー} となるわけです。

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