OKWAVEのAI「あい」が美容・健康の悩みに最適な回答をご提案!
-PR-
解決
済み

半径1の円に内接する正五角形の一辺の求め方

  • すぐに回答を!
  • 質問No.170239
  • 閲覧数2796
  • ありがとう数8
  • 気になる数0
  • 回答数4
  • コメント数0

お礼率 100% (4/4)

タイトル通り、
「半径1の円に内接する正五角形の一辺の求め方」を教えてください。
正十角形の一辺の求め方がヒントのようです。
よろしくお願いします。
通報する
  • 回答数4
  • 気になる
    質問をブックマークします。
    マイページでまとめて確認できます。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

tokumei7さんは中学生ですよね?(高校生ならこの問題の解法で正十角形の一辺の求め方を考えようとしませんから)

さて、正十角形の一辺はわかりましたか?これは実はかなり綺麗に求めることができます。(こっちのほうがよっぽどいい問題)

ということで解法を。その前に、正五角形の一辺と対角線の長さの関係が1:(1+√5)/2であることは大丈夫ですか?(相似で出せます)

五角形をABCDEとし、その一辺を2aとする。(あとで辺の中点を考えますので2aとおいてます)
円の中心をOとし、ACとOBの交点をM, AOを延長し、CDおよび円周との交点をそれぞれN, A'とする。(CA'が正十角形の一辺です)

AB=2aよりAC=2a*(1+ √5)/2=(1+ √5)a, AM=AC/2=((1+ √5)/2)a
△ABM∽△OCNとOC=1よりON=(1+ √5)/4、よってNA'=1-ON=(3-√5)/4
△OAM∽△A'CNとCN=CD/2=aより、CA'=2/(1+ √5)=(√5-1)/2(この有理化は高校範囲ですが、この問題を解く中学生なら知ってて当然。)
これが正十角形の一辺となります。

ところで、正五角形の一辺だと、あとの相似はいらなくて、あとは△OCNで三平方の定理を用いればaの値は求められますから、それで終わりです。。。
ここで、この答えは、いわゆる2重根号がはずれません。これについてはどうしようもなさそうです。

#もし三角関数がおわかりなら、答えは2sin36度で、cos36度については2倍角と3倍角の公式を使えば、(1+ √5)/4になります。本質的に上の解答と同じものを求めていることになりますが・・・

##もし対角線の出し方を知らない場合は、ACとBEの交点をPとして、△PAB ∽△BACかつCP=CBより求められます。
お礼コメント
tokumei7

お礼率 100% (4/4)

kony0さん、ありがとうございました。
とても丁寧な解説のおかげで、
問題を解くことができました。
本当にありがとうございました。

他のアドバイスをくださった方々も本当にありがとうございました。
投稿日時 - 2001-11-18 12:54:55
-PR-
-PR-

その他の回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 22% (1111/5039)

解答ではなくヒントを差し上げます。 図に書いて見てください。 その上で三角形を作り(一つの角が90°の)長さ1の一辺と円の中心にある角の角度(36°)から求められます。 ...続きを読む
解答ではなくヒントを差し上げます。

図に書いて見てください。
その上で三角形を作り(一つの角が90°の)長さ1の一辺と円の中心にある角の角度(36°)から求められます。
お礼コメント
tokumei7

お礼率 100% (4/4)

アドバイスありがとうございます。
hiroshimaさん。
さっそくやってみました。
でも、まだよくわからなくって・・。
なぜ36°でわかるのでしょうか。
もう少しヒントをください。
投稿日時 - 2001-11-17 20:52:04

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 31% (726/2280)

http://g3400.nep.chubu.ac.jp/onsenkids/craft/bee-man/bee-man.html http://www15.big.or.jp/~99mash/stok/pentagram/pentagram.htm が正五角形の書き方です。 この作図で円外に書いた2点を結ぶ距離が計算できると思います。(正三角形ですので) あとは三角形の相似を利用して、長さの比が ...続きを読む
http://g3400.nep.chubu.ac.jp/onsenkids/craft/bee-man/bee-man.html
http://www15.big.or.jp/~99mash/stok/pentagram/pentagram.htm
が正五角形の書き方です。
この作図で円外に書いた2点を結ぶ距離が計算できると思います。(正三角形ですので)
あとは三角形の相似を利用して、長さの比が求められると思います。
しかし多角形の作図のし方は面白いですね。
お礼コメント
tokumei7

お礼率 100% (4/4)

ありがとうございます。
ADEMUさん。
だいぶわかってきました。
投稿日時 - 2001-11-18 12:51:40
  • 回答No.4
レベル14

ベストアンサー率 22% (1111/5039)

補足します。 正五角形の各角から円の中心に向けて線をひくと5個の三角形ができます。 その上で円の中心から三角形の底辺に向けて垂直な線を引きます。 これで一つの角が90°の三角形が10個できます。 円の中心に接する三角形の角の角度は360/10で36°となります。 ...続きを読む
補足します。
正五角形の各角から円の中心に向けて線をひくと5個の三角形ができます。
その上で円の中心から三角形の底辺に向けて垂直な線を引きます。

これで一つの角が90°の三角形が10個できます。
円の中心に接する三角形の角の角度は360/10で36°となります。
お礼コメント
tokumei7

お礼率 100% (4/4)

わかりました!
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-11-18 12:55:37
このQ&Aで解決しましたか?
関連するQ&A
-PR-
-PR-
このQ&Aにこう思った!同じようなことあった!感想や体験を書こう
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。

その他の関連するQ&A、テーマをキーワードで探す

キーワードでQ&A、テーマを検索する
-PR-
-PR-
-PR-

特集


いま みんなが気になるQ&A

関連するQ&A

-PR-

ピックアップ

-PR-
ページ先頭へ