速度の定義で距離がスカラー時間がベクトル

質問

素人考えなのですが

速度は

速度（ベクトル）＝距離（ベクトル）／時間（スカラー）

で定義されてるんですけど、どうして

速度（ベクトル）＝距離（スカラー）／時間（ベクトル）

じゃあないんでしょうか。そのほうがすっきりすると思うのですけど、色々。

回答No.8

hagiwara_m · ベストアンサー

補足事項にお答えします。

>温度が一時間に１℃上昇するとして、加速度と同じく「加温度」という単位を定
>義するとします。その場合「加温度」はベクトルとした方がいい、、、

いいえ、温度の時間変化率はスカラー量です。x,y,z成分のような複数の量を並べる必要がないからです。変化の方向性があることと、ベクトルであることとは関係ありません。

> 数ベクトルの座標のことですよね

「ベクトルとは大きさと方向をもつ量である」という説明は、間違っているとは言わないまでも、誤解を招きやすい悪い表現だと常々思っています。ベクトルとは、スカラー量がいくつか組になったものだとお考え下さい。２次元なら２個、３次元なら３個の組が必要です。その各スカラー量は、ある空間を張る座標軸に対するx成分、y成分、z成分などです。ただし、いろいろな物理量についての空間があることに注意して下さい。速度空間、加速度空間、運動量空間などがあり、それぞれに応じて成分の物理量の意味が変わります。このようなことを承知した上で、ベクトルの成分を「座標」と表現することは可能です。

>>座標軸を変えたときに、その各スカラー量が相互に幾何学の規則に
>> 従って変化する場合に適用される概念です。

>なので時間には適用されないということですか？

いえ、時間を表現するのにx,y,z成分などは必要なく、たった１個のスカラー量で足りるので、スカラー量と断定されます。（ついでながら、時間は４次元時空の１成分を成します）

>負の時間があってもよい、ということですか？

「時間」は本来は「時刻」と呼ぶべきもので、隔たりの大きさを示す量ではなく、時の数直線上の座標のようなものです（何故か、専門家でも時間と時刻の用語の使い分けが曖昧ですね）。時刻の基準点は任意にとることができますから、当然負の値もとります。１次元のベクトルは(符号付き)スカラー量と同じことなので、言い換えても間違いとは言えないが、１次元ベクトルなどという表現はほとんど使われないという主旨です。

お礼

> 「時間」は本来は「時刻」と呼ぶべきもので、隔たりの大きさを示す量ではなく、
（略）
> １次元ベクトルなどという表現はほとんど使われないという主旨です。

なんだか決定的にわかった気がしました。別に時間が負の値（負の座標）で
全然よかったのですね。言われてみればそうですが、そのことが頭の中からすっぽり抜けていました。

皆さんありがとうございました。

回答No.7

kajuram

＞外積も０となり、方向は考慮しなくてもよくなるんではないのでしょうか？

　外積が０ということは、結果のベクトルの大きさも０になるということですよ。
　つまり、どんなに加速度を発生させても、速度は変化しないことになりますよ。
　ここに矛盾を感じませんか？

　また、同じ物体の同じ瞬間の状態をとらえるときに、速度を考えるときは
　加速度と同じ方向に時間軸をとり、移動距離を考えるときは速度と同じ方向
　に時間軸をとる。
　このことに違和感を感じませんか？？

補足

> 外積が０ということは、結果のベクトルの大きさも０になるということですよ。
> つまり、どんなに加速度を発生させても、速度は変化しないことになりますよ。
> ここに矛盾を感じませんか？

確かにおかしいですね。

そもそもこの場合、ベクトルが成す角度は０°か１８０°であることが
明白なので、外積を求める意味はないですね。

もしかしてこの場合は内積を求めなければならないのでしょうか？
すると速度はスカラになってしまいますね、定義上。

> また、同じ物体の同じ瞬間の状態をとらえるときに、速度を考えるときは
> 加速度と同じ方向に時間軸をとり、移動距離を考えるときは速度と同じ方向
> に時間軸をとる。このことに違和感を感じませんか？？

円運動を考えると、時間軸がごちゃごちゃになってわからないですね。

決定的に「まちがいだ！」とわかったわけではないんですが、
「うまくはいかなさそうだ」ということに気付き始めました。

回答No.6

hagiwara_m

コメントいたします。
ある量が一方向に変化する性質をもつことと、それがベクトルであることとは関係ありません。例えば、温度は、それが上昇し続けようが何だろうが常にスカラー量です。位置というのは、上下左右前後に自由に追いかけたとしても、ベクトル量です。ベクトルというのは、スカラー量を複数並べることで表現され、しかも、座標軸を変えたときに、その各スカラー量が相互に幾何学の規則に従って変化する場合に適用される概念です。（ただし、(恐らくご質問者が想定されている)１次元の場合に、1個のスカラー量をもって１次元ベクトルと呼ぶかどうかは、案外微妙ですね。）

正しい表現は、

速度（ベクトル）＝位置（ベクトル）を時間で微分したもの

です。この右辺の「時間」を、あえて1次元ベクトルと呼びたければ、それはそれで構いません。

補足

頭がボーっとしてきたので、まどろっこしい書き方になるのをお許しください。

> ある量が一方向に変化する性質をもつことと、
> それがベクトルであることとは関係ありません。
> 例えば、温度は、それが上昇し続けようが何だろうが常にスカラー量です。

わかります。うどんの汁が濃いか薄いかはベクトルではないと思います。
ここであえて質問するのですけど、たとえばその温度が一時間に１℃
上昇するとして、加速度と同じく「加温度」という単位を定義するとします。
その場合「加温度」はベクトルとした方がいいと思うのですが、
その方向成分を担っているのは何ですか？

> ベクトルというのは、スカラー量を複数並べることで表現され、

この文章のスカラー量というのは、数ベクトルの座標のことですよね？

> しかも、座標軸を変えたときに、その各スカラー量が相互に幾何学の規則に
> 従って変化する場合に適用される概念です。

なので時間には適用されないということですか？

> この右辺の「時間」を、あえて1次元ベクトルと呼びたければ、
> それはそれで構いません

かまわないということは、負の時間があってもよい、ということですか？
それとも言葉上？

回答No.5

kajuram

＞時間をベクトルだとして物理法則を書き換えた場合、 どこかで矛盾はでてきますでしょうか？

速度、変位、時間だけの関係で説明しようと思いましたが、ここで加速度も導入しましょう。

　速度はベクトルであると考えることは納得しているのですね。
　加速度は、この速度を変化させるものです。
　これは、大きさだけでなく、方向も変化させることができますね。
　（たとえば、カーブを考えると納得してもらえるかな？）

　そうすると、時間をベクトルと考えると
　　加速度（ベクトル）ｘ時間（ベクトル）＝速度（ベクトル）
　ということないなります。
　ベクトルとベクトルの積がベクトルとなるのは外積です。
　外積は理解されていますか？
　あなたの考えからいくと、速度と時間は同じ向きのベクトルですよね。
　しかし、この関係からすると、時間と速度は直交することになります。
　速度、時間、距離の関係で考えていたことと矛盾がありませんか？

補足

外積の概念はすっかり忘れていたのですが、インターネットで調べました。

この場合、加速度と時間の方向は同じなので、
ベクトルの成す角度は０°（もしくは１８０°）で、外積も０となり、
方向は考慮しなくてもよくなるんではないのでしょうか？

回答No.4

kajuram

まず、間違いを指摘しておきましょう。

　あなたのいわれている式　距離（通常移動距離といいます）／時間は速度の
　定義ではなく、速さの定義ですべてがスカラーです。

速度＝変位／時間ですね。

　この変位が、どちら向きにどれだけ動いたかを表すベクトルとして考えてます。
　そして、あなたが疑問に思われているのは、変位を距離だけのものと考えて、
　時間を向きのある量（ベクトル）として考えられないかということですね。

　あなたは運動しているものを１つだけ考えていますね。しかも１次元運動と
　して・・・
　そのような場合、変位がベクトルなのか、時間がベクトルなのかの差を
　認識できません。

　２つのものが同時に同じ場所から反対向きに動いたとしましょう。
　　ある物体にとっては時間は負なのに、もう１つは正。
　　同時に同じ場所から動いたにもかかわらず・・・
　この２つの物体にとって、異なっているのは時間の向きではなく、出発した
　地点から、どれだけの距離をどの向きに動いたかであると考えた方が
　自然ではありませんか。

　さらに、２次元空間や３次元空間で複数の物体が運動していることを
　考えると時間をベクトルと考えると、すっきりするよりも、頭が痛くなり
　そうです。
　南向きの時間、上向きの時間、下、北西ちょっと上向き・・・

　時間をベクトルと考えるよりも、変位をベクトルとした方がすっきりすると
　思うのですが・・・

補足

> あなたは運動しているものを１つだけ考えていますね。しかも１次元運動と
> して・・・
> そのような場合、変位がベクトルなのか、時間がベクトルなのかの差を
> 認識できません。
>
> ２つのものが同時に同じ場所から反対向きに動いたとしましょう。
> ある物体にとっては時間は負なのに、もう１つは正。
> 同時に同じ場所から動いたにもかかわらず・・・
> この２つの物体にとって、異なっているのは時間の向きではなく、出発した
> 地点から、どれだけの距離をどの向きに動いたかであると考えた方が
> 自然ではありませんか。

ここのくだりが非常にわかりやすかったです。

しかし、慣性系はそれぞれ固有の時間の流れを持ち、
そのためにローレンツ変換があるのですから、
一方の物体の時間は正、一方は負でもいいのではないのでしょうか。

たとえば、時間をベクトルだとして物理法則を書き換えた場合、
どこかで矛盾はでてきますでしょうか？計算の煩雑さとかではなく。

回答No.3

ymmasayan

皆さんがおっしゃるとおり、
速度（ベクトル）＝距離（スカラー）／時間（ベクトル）
が、なぜすっきりするのか、判りませんが。

ともあれ、
北へ１００キロ（距離：ベクトル）
北へ時速１００キロ （速度：ベクトル）
今から１時間後（時間、時刻：スカラー）
ということになりませんか。

方向を変えると違うところへ行ってしまう。それがベクトルと思うのですが。

補足

時間軸だけ、どうして一方向に進むのでしょうか？
どうして過去から未来へといくのでしょうか？
過去から未来へ行くときに、必ずエントロピーが増えるのはどうしてでしょうか？

逆に（言葉上違和感はありますが）、
東京－大阪500kmを、いま東を正にとったとき、
500kmを+1時間で進むと+500km/h、-1時間で進むと-500km/hの速度として、
時間軸はべつに一方通行じゃない、とします。

そうするとエントロピーは時間の絶対値の総和として表されて、
いわゆる「時間の矢」の問題がすっきりすると思うんです。

回答No.2

starflora

まず、時間は、「時の矢印」だというような比喩があり、ベクトルだと思っておられる方がいるのかも知れませんが、「速度」を定義する時には、「時間の方向性」とか、「時間のベクトル性」というものは関係していません。

　　速度というのは、簡単に初等数学で言うと、単位時間当たりに、或る点が、三次元空間のなかを、どの方向にどれぐらい運動するのかということです。時間の単位を限りなくゼロに近づけた時が、時間微分になり、これが正確な速度の定義です。

　　速度がベクトルであるのは、点の運動が行われる空間が、三次元空間の内部で、単位時間において、三次元で、どの方向に、どれだけ運動するかという値で、この場合、点は空間を運動するのです。時間のなかを運動しているのではありません（特殊相対性理論だと、時間のなかの運動という表現も可能かも知れませんが）。仮に、時間のなかを運動していたとしても、それは、一定の割合の運動で、時間の流れは、物理的には、ニュートンの運動力学では、均等に流れます。

　　従って、時間のベクトルを仮に考えても、その長さは、一定です（これが、均等に時間が流れるということなのですから）。

　　それに対し、運動距離というのは、まさに、方向性があり、かつ、ベクトルの大きさに違いがあり、時間に応じて速さは変化し得ます。（つまり、空間での運動は、均等とは限らないということです）。

　　均等に流れる時間を基準に、この時間の刻み目の数に対し、どれぐらいの空間運動を点が行うかが、点の速度の意味です。

　　一次元での運動を考えていると、何か、時間がベクトルで、距離がスカラーだとも言えるような気分になるのかも知れませんが、三次元での運動を考えてみれば、距離がベクトルだということが納得行くはずです。

　　三次元の運動の場合は、原点を時間＝ゼロの時に通り、そこから、単位時間にある距離を運動した点の運動距離は、普通、三つの数字で表現されます。ＸＹＺの座業軸ああるとすると、（x,y,z）ということになります。この（x,y,z）は、原点から延ばしたベクトルです。そして、この場合の速度は、

　　x/t(＝1), y/t(＝1), z/t(＝1)

　　となります。この場合、速さは、(x^2+y^2+z^2)^(1/2) で、速度は、先に挙げた（x,y,x）です。一次元で考えていると、距離はスカラーでよいように思えますが、三次元で考えると、距離とは、実は運動の方向を含んだ大きさで、これはベクトルなのです。

　　また、ベクトル（x,y,z）を、スカラーtで割る計算は可能ですが、一次元としても、スカラーxをベクトル(t)で割るという計算は普通、考えられません。

　　どうも、これでは納得されないのかもしれませんが。

　　ベクトルの合成法則ということから考えると、三次元の場合、
　　(x,y,z)/t ＝ ｉ・(x)/t ＋ ｊ・(y)/t ＋ｋ・ (z)/t
　　という風に、ｘ，ｙ，ｚ軸方向の速度ベクトルの合成が三次元速度ベクトルだという式になりますが、速度を、スカラー距離／ベクトル時間などとすると、三次元での速度合成の式が訳の分からないものになります。

補足

数学から遠ざかっているので半分くらいしか理解できませんが、

> また、ベクトル（x,y,z）を、スカラーtで割る計算は可能ですが、
> 一次元として>も、スカラーxをベクトル(t)で割るという計算は普通、
> 考えられません。

これはなぜですか？

たしかに時間がベクトルであるとすると、それぞれの軸に
それぞれの時間が対応することになり、6次元になってしまい、
訳がわからないといえばそうなってしまうのですけど。

これは速度の定義の問題として、

時間軸が無ければ（その物体が動いていなければ）距離に方向成分は
もたせられないですよね。だったら時間の方向成分を持たせてしまった
ほうが、良いような気がするのです。

回答No.1

fatal_error

何がすっきりされるんでしょう？
回答が疑問形で申しわけないですが、そこんとこ気になるので。

ご存知かもしれませんが、
ベクトルってのは、「向き」と「大きさ」を持つもので、
スカラってのは「大きさ」のみを持つものです。

「速度」は「向き」（二次元で言うなら東西南北）と、「大きさ」（いわゆる速さ）を持っていますし、
「距離」も原点からの「向き」と「大きさ」（どれだけ離れているか）を持ちますが、
「時間」は「向き」がなく（つまり常に一定の方向にしか向かない）ある時間からの「大きさ」（どれだけ経っているか）しかありません。

よって、
速度＝ベクトル
距離＝ベクトル
時間＝スカラ
です。

何がすっきりすると思われているのか判らないうちにお答えできるのは、
こんなトコでしょうか。

補足

距離（長さ）にどうして向きがあるのでしょうか？
速度の定義から考えると、距離に方向成分を持たせるより、
時間に方向成分を持たせた方がスマートだと思うんです。

たとえば東京－大阪間500kmとしても、大阪－東京を+500km、
東京－大阪を-500kmとするのは違和感があると思います。
（言葉の表現としてではなく）。

で、何がすっきりするかというと「時間の矢」の問題です。
なぜ時間は過去から未来へと一方にだけ流れるのか？

これがエントロピーとあわせるとすんなりいくと思うんです。

その代わり、世の中が6次元になってしまうのですけど。