連続関数空間上の有界線型汎関数の近似

質問

B={[0,T]→R;conti}を有限区間[0,T]上の実数値連続関数の全体として、一様ノルムを入れてバナッハ空間とみなします。

[0,T]の任意有限個の時刻t_1,…,t_nと任意の実数ξ_1,…,ξ_nを固定して、
B∋w→ξ_1w(t_1)+ξ_2w(t_2)+…+ξ_nw(t_n)
によってB上の有界線型汎関数が定まります。そこでこのタイプの汎関数を有限個の時刻のみで決まる汎関数と呼ぶことにします。

示したい問題は、B上の任意の有界線型汎関数φ∈B*に対して、有限個の時刻のみで決まる汎関数の列φ_nがあって、φに汎弱収束する（i.e.任意のw∈Bに対して、φ_n(w)→φ(w)が成り立つ）という命題です。

直感的には連続関数空間に一様ノルムを入れているので、可算個の点の情報だけで汎関数は決定されるべきですが、きちんと証明しようとすると躓きました。特に与えられたφに対してφを近似するようなξをうまく取ってくることができず証明が終わりません。たとえばBは可分なのでdense subsetを取り、その中からn個を取って、φ_nを作る、というようなことを考えたりしたのですが、φ_nのノルムの一様有界性が出なかったりで苦戦しています。このような方針はよくないのでしょうか。

ヒントでも構わないので、何かコメント頂けるとうれしいです。たぶんそれほど難しい問題ではないとは思うのですが．．．

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

下の回答のノルムの評価に関して補足させてください。
{ψ：v→Σ{j=1,..n}a_jv(r_j) ; a_j∈R、r_j∈[0,T]、r_jは互いに異なる}=(V_n)^*となるのでt_1,...,t_nはすべて異なるようにとれます。これによりV_nにおいてある元ｗが存在してw(t_j)=sgn(ξ_j)となり汎関数ノルムの評価が従います。

お礼

大変よく分かりました。ありがとうございます。ノルムの評価ができること、言われてみたら当たり前なのにぜんぜん気づきませんでした。異なるn点で値を決めることはn-1次多項式をuniqueに決定することと同値なのですね。

回答No.1

ringohatimitu

個人的に関数解析に興味があるのでちょっと考えてみました。
問題の空間は稠密な部分空間としてspan｛１、ｘ、ｘ^2、・・・｝を持ちます。φを固定します。自然数ｎに対してその稠密な部分空間の最初の(ｎ+1)次元部分空間をV_nとします。すなわちV_n=span{1,x,...,x^n}です。
このときφに対して次の性質を満たすt_1,...,t_n∈[0,T]、ξ_1,...,ξ_n∈Rが存在します；

φ(w)=Σ{j=1,..n}ξ_jw(t_j) ∀w∈V_n

これはV_nが有限次元であることとV_nにおける基底の取り方から{ψ：v→Σ{j=1,..n}a_jv(r_j) ; a_j∈R、r_j∈[0,T]}⊂(V_n)^*が次元ｎであることが示されるからです。
ここで各ｎに対して上でとったt_1,...,t_n∈[0,T]、ξ_1,...,ξ_n∈Rを用いてφ_nを
φ_n(u)=Σ{j=1,..n}ξ_ju(t_j)
で定義します。構成の仕方からu∈V_nに対してφ_n(u)=φ(u)であり汎関数ノルムに関しては||φ_n||≦||φ||です。これはφ_nの定義式より||φ_n||=Σ{j=1,..n}|ξ_j|
で上のφ(w)の式からφのノルムはこの値より大きくなるからです。このφ_nは題意を満たすことは
任意のwに対してｎを十分大きくとればあるw_n∈V_nによって
|φ(w)-φ_n(w)|=|φ(w)-φ_n(w_n)|+|φ_n(w_n)-φ_n(w)|＜εとなることより明らかです。

説明が長くなってしまいましたがこれでどうでしょうか？